อนุพันธ์ของไซน์ของมุมเท่ากับโคไซน์ของมุมเดียวกัน

Dana ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติง่ายการ y = บาป (x) เป็นอนุพันธ์ที่จุดของทั้งโดเมนแต่ละ เราจะต้องพิสูจน์ว่า อนุพันธ์ของไซน์ที่ ของการโต้แย้งใด ๆ จะมีค่าเท่ากับโคไซน์ของมุมเดียวกันนั่นคือ '= Cos (x)

หลักฐานที่อยู่บนพื้นฐานของความหมายของฟังก์ชันอนุพันธ์

เรากำหนด x (พล) ในเขตเล็ก ๆ บางส่วนของจุดใด x Δh ₀ เราจะแสดงค่าฟังก์ชั่นในนั้นและที่จุด x เพื่อค้นหาการเพิ่มฟังก์ชั่นที่กำหนด หากΔh - อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นอาร์กิวเมนต์ใหม่ - x นี้ ₀ + Δx = x ค่าของฟังก์ชั่นนี้สำหรับค่าที่กำหนดของการโต้แย้ง (x) มีค่าเท่ากับบาป (x ₀ + Δx) ค่าฟังก์ชั่นที่เฉพาะจุด (x ₀₎ นอกจากนี้ยังเป็นที่รู้จักกัน .

ตอนนี้เรามีΔu = sin (x ₀ + Δh) -Sin (x ₀₎ - ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นได้

ตามสูตรของทุนไซน์ของสองมุมไม่เท่ากันเราจะแปลงความแตกต่างΔu

Δu = sin (x ₀₎ · Cos (Δh) + Cos (x ₀₎ · Sin (Δx) ลบบาป (x ₀₎ = (Cos (Δx) -1 ) ·บาป ( x ₀₎ + Cos (x ₀₎ · Sin (Δh)

เงื่อนไขการเปลี่ยนแปลงการดำเนินการจัดกลุ่มแรกที่จะสาม Sin (x _0), นำออกมาจากปัจจัยร่วมกัน - ซายน์ - วงเล็บ เราได้รับในการแสดงออกของความแตกต่าง Cos (Δh) -1 มันเหลือที่จะเปลี่ยนเข้าสู่ระบบในด้านหน้าของวงเล็บและวงเล็บ รู้ว่าสิ่งที่เป็น 1 Cos (Δh) เราทำการเปลี่ยนแปลงและได้รับการแสดงออกที่เรียบง่ายΔuซึ่งจะแบ่งออกแล้วโดยΔh
Δu / Δhจะมีรูปแบบที่: คอส (x ₀₎ · Sin (Δh) / Δh 2 ·บาป ² (0.5 x Δh) ·บาป (x ₀₎ / Δh นี้คืออัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชั่นที่จะเข้ารับการรักษาที่จะเพิ่มขึ้นของการโต้แย้งที่

มันยังคงที่จะหาขีด จำกัด ของอัตราส่วนที่ได้จากเราในช่วง Lim Δhที่พุ่งไปอยู่ที่ศูนย์

เป็นที่รู้จักกันว่าขีด จำกัด Sin (Δh) / Δxมีค่าเท่ากับ 1 ภายใต้เงื่อนไขที่ และการแสดงออกที่ 2 ·บาป ² (0.5 x Δh) / Δhในผลรวมที่เกิดการเปลี่ยนแปลงโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับผลิตภัณฑ์ที่มีเป็นครั้งแรกคูณขีด จำกัด ที่โดดเด่น: เศษของส่วนและ znemenatel หารด้วย 2, ตารางไซน์แทนที่สินค้า นี่คือวิธี:
(ซิน (0,5 ·Δx) / (0,5 ·Δx)) · Sin (Δx / 2)
ขีด จำกัด ของการแสดงออกนี้เมื่อΔhมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์จะเท่ากับจำนวนของศูนย์ (0 คูณด้วย 1) แต่กลับกลายเป็นว่าขีด จำกัด ของอัตราการΔy / Δhคือคอส (x ₀₎ · 1-0 นี่คือคอส (x _0), การแสดงออกซึ่งความเป็นอิสระของΔhพุ่งไป 0. สรุป: อนุพันธ์ของไซน์ของมุมใด ๆ มีค่าเท่ากับ x โคไซน์ x, สามารถเขียนเป็น: Y '= Cos (x)

สูตรส่งผลให้มีการระบุไว้ในตารางของสัญญาซื้อขายล่วงหน้าที่รู้จักกันที่ทุกฟังก์ชั่นประถมศึกษา

ในการแก้ปัญหาที่เขาพบอนุพันธ์ของไซน์ที่คุณสามารถใช้ กฎของความแตกต่าง และพร้อมทำสูตรของตาราง ตัวอย่างเช่น: หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y ที่ง่ายที่สุด = 3 ·บาป (x) -15 เราใช้กฎประถมรากศัพท์กำจัดปัจจัยตัวเลขสำหรับการเข้าสู่ระบบของอนุพันธ์และคำนวณจำนวนอนุพันธ์คงที่ (ซึ่งเป็นศูนย์) สมัครค่าตารางไซน์ของอนุพันธ์ของมุม x Cos เท่ากับ (x) ได้รับคำตอบ: Y '= 3 · Cos (x) -O อนุพันธ์นี้ในที่สุดก็ยังเป็นฟังก์ชัน y = ประถม H · Cos (x)

อนุพันธ์ของไซน์กำลังสองของการโต้แย้งใด ๆ

ในการคำนวณของการแสดงออก (Sin ² (x)) 'ต้องจำไว้ว่าการทำงานที่ซับซ้อนวิธีการที่แตกต่างกัน ดังนั้น ² = sin (x) - เป็นฟังก์ชั่นการใช้พลังงานเป็นซายน์สแควร์ อาร์กิวเมนต์ของมันยังเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ อาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อน ผลในกรณีนี้จะมีค่าเท่ากับผลิตภัณฑ์ของตัวคูณแรกเป็นตารางของอนุพันธ์ที่ซับซ้อนของการโต้แย้งและสอง - อนุพันธ์ของไซน์ที่ นี่คือกฎสำหรับความแตกต่างของการทำงานของฟังก์ชั่นที่: (U (V (x))) 'เป็น (U (V (x))) · (V (x))' การแสดงออกของโวลต์ (x) - การโต้แย้งที่ซับซ้อน (ฟังก์ชั่นภายใน) หากฟังก์ชั่นได้รับ "Y เท่ากับไซน์ยืด x" จากนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นคอมโพสิตนี้คือ Y '= 2 ·บาป (x) · Cos (x) ผลิตภัณฑ์ของตัวคูณแรกสองเท่า - อนุพันธ์ที่รู้จักกันฟังก์ชั่นการชี้แจงและคอส (x) - อนุพันธ์ไซนัสอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อนของฟังก์ชันกำลังสอง ผลสุดท้ายสามารถเปลี่ยนโดยใช้สูตรของไซน์ตรีโกณมิติของมุมคู่ A: อนุพันธ์คือบาป (2 · x) สูตรนี้ง่ายต่อการจำก็มักจะถูกนำมาใช้เป็นตาราง