ไม่แน่นอนหนึ่ง คำนวณปริพันธ์ไม่แน่นอน

หนึ่งในส่วนพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เป็นแคลคูลัส มันครอบคลุมสนามกว้างมากของวัตถุที่แรก - มันเป็นไม่แน่นอนหนึ่ง ตำแหน่งที่มันยืนเป็นกุญแจสำคัญที่ยังคงอยู่ในโรงเรียนมัธยมเผยให้เห็นจำนวนที่เพิ่มขึ้นของลูกค้าและโอกาสซึ่งอธิบายคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น

การปรากฏ

ได้อย่างรวดเร็วก่อนดูเหมือนว่าอย่างเต็มที่ส่วนประกอบสำคัญในการที่ทันสมัยเฉพาะ แต่ในทางปฏิบัติมันกลับกลายเป็นว่าเขากลับมาใน 1,800 ปีก่อนคริสตกาล หน้าแรกเพื่อพิจารณาอย่างเป็นทางการอียิปต์ยังไม่ถึงเราก่อนหน้านี้หลักฐานของการดำรงอยู่ มันเกิดจากการขาดข้อมูลทั้งหมดในขณะที่ตำแหน่งเป็นเพียงปรากฏการณ์ เขายืนยันอีกครั้งหนึ่งระดับของการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์ของประชาชนในครั้งนั้นได้ ในที่สุดผลงานของเขาถูกพบ นักคณิตศาสตร์กรีกโบราณ สืบมาจากศตวรรษที่ 4 พวกเขาอธิบายวิธีการใช้ที่ไม่แน่นอนหนึ่งสาระสำคัญซึ่งคือการหาปริมาณหรือพื้นที่ของรูปทรงโค้ง (สามมิติและระนาบสองมิติตามลำดับ) การคำนวณอยู่บนพื้นฐานของหลักการของการแบ่งรูปเดิมเป็นส่วนประกอบเล็กโดยมีเงื่อนไขว่าปริมาณ (พื้นที่) เป็นที่รู้จักกันอยู่แล้วกับพวกเขา เมื่อเวลาผ่านไปวิธีการที่มีการเติบโต Archimedes ใช้มันในการหาพื้นที่ของรูปโค้งที่ การคำนวณที่คล้ายกันในเวลาเดียวกันเพื่อดำเนินการออกกำลังกายในประเทศจีนโบราณที่พวกเขามีความเป็นอิสระจากวิทยาศาสตร์เพื่อนกรีก

พัฒนาการ

การพัฒนาต่อไปในซีอานศตวรรษได้กลายเป็นผลงานของนักวิชาการอาหรับ "เกวียน" อาบูอาลีอัล Basri ที่ผลักดันขอบเขตของที่รู้จักกันอยู่แล้วได้มาจากสูตรหนึ่งสำหรับการคำนวณผลรวมของจำนวนเงินและองศาจากครั้งแรกที่สี่ที่ใช้สำหรับการนี้ที่เรารู้จักกัน วิธีการเหนี่ยวนำ
จิตใจของวันนี้จะได้รับการยกย่องจากชาวอียิปต์โบราณสร้างอนุเสาวรีย์ที่น่าตื่นตาตื่นใจโดยไม่ต้องใช้เครื่องมือพิเศษใด ๆ ยกเว้นว่ามือของตัวเอง แต่ไม่ได้เป็นนักวิทยาศาสตร์บ้าอำนาจของเวลาไม่น้อยมหัศจรรย์? เมื่อเทียบกับช่วงเวลาปัจจุบันของชีวิตของพวกเขาดูเหมือนดั้งเดิมเกือบ แต่การตัดสินใจของปริพันธ์ไม่แน่นอนอนุมานทุกที่และใช้ในการปฏิบัติสำหรับการพัฒนาต่อไป

ขั้นตอนต่อไปเกิดขึ้นในศตวรรษที่สิบหกเมื่ออิตาลีคณิตศาสตร์ Cavalieri นำวิธีการแบ่งแยกซึ่งหยิบขึ้นมา ต่อ Ferma ทั้งสองบุคลิกวางรากฐานสำหรับแคลคูลัสหนึ่งที่ทันสมัยซึ่งเป็นที่รู้จักกันในขณะนี้ พวกเขาผูกแนวคิดของความแตกต่างและบูรณาการซึ่งได้เห็นก่อนหน้านี้เป็นหน่วยที่ตนเองมี โดยและขนาดใหญ่คณิตศาสตร์ในช่วงเวลานั้นคือการค้นพบอนุภาคแยกส่วนอยู่ด้วยตัวเองด้วยการใช้งานที่ จำกัด วิธีการที่จะรวมกันและหาพื้นดินทั่วไปเป็นเพียงคนเดียวที่แท้จริงในขณะนี้ต้องขอบคุณเขาที่ทันสมัย การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ มีโอกาสที่จะเติบโตและพัฒนา

กับเนื้อเรื่องของเวลาที่มีการเปลี่ยนแปลงทุกอย่างและสัญลักษณ์หนึ่งเช่นกัน และโดยมากมันถูกกำหนดให้เป็นนักวิทยาศาสตร์ที่ในทางของตัวเองเช่นนิวตันใช้ไอคอนตารางที่วางฟังก์ชั่น integrable หรือเพียงแค่ใส่กัน ความเหลื่อมล้ำนี้จนถึงศตวรรษที่ XVII เมื่อเป็นสถานที่สำคัญสำหรับทั้งทฤษฎีของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์นักวิทยาศาสตร์กอตฟริด Leybnits แนะนำเช่นตัวละครที่คุ้นเคยกับเรา ยาว "S" เป็นจริงตามตัวอักษรของนี้ ตัวอักษรโรมัน ตั้งแต่หมายถึงผลรวมของวิทยาการ ชื่อของหนึ่งที่ได้รับการขอบคุณจาค็อบเบอร์นอลลีหลังจาก 15 ปี

ความหมายอย่างเป็นทางการ

ซึ่งเป็นส่วนประกอบสำคัญที่ไม่แน่นอนขึ้นอยู่กับนิยามของดั้งเดิมดังนั้นเราจึงคิดว่ามันเป็นในสถานที่แรก

ปฏิยานุพันธ์ - เป็นฟังก์ชันผกผันของอนุพันธ์ในทางปฏิบัติมันจะเรียกว่าดั้งเดิม มิฉะนั้น: ฟังก์ชั่นดั้งเดิมของ d - เป็นฟังก์ชั่น D ซึ่งเป็นอนุพันธ์วี <=> V 'v = ค้นหาดั้งเดิมคือการคำนวณที่ไม่แน่นอนที่สำคัญและกระบวนการของตัวเองที่เรียกว่าบูรณาการ

ตัวอย่างเช่น:

ฟังก์ชั่น s (y) y = ^{3 และ} S ดั้งเดิม (y) = (y ^4/4)

ชุดของวิทยาการทุกฟังก์ชั่น - นี้เป็นไม่แน่นอนหนึ่งชี้แนะดังนี้: ∫v (x) DX

อาศัยอำนาจตามความเป็นจริงโดยที่ V (x) - เป็นเพียงบางส่วนฟังก์ชั่นต้นฉบับดั้งเดิมแสดงออกถือ: ∫v (x) DX = V (x) + C ที่ C - คงที่ ภายใต้อย่างต่อเนื่องโดยพลหมายถึงค่าคงที่ใด ๆ ตั้งแต่อนุพันธ์เป็นศูนย์

สรรพคุณ

คุณสมบัติครอบงำโดยไม่มีกำหนดหนึ่งตามหลักในคำนิยามและคุณสมบัติของสัญญาซื้อขายล่วงหน้า
พิจารณาประเด็นสำคัญ:

• อนุพันธ์หนึ่งของดั้งเดิมดั้งเดิมของตัวเองบวกกับพลคง C <=> ∫V '(x) DX = V (x) + C;
• อนุพันธ์ของหนึ่งของฟังก์ชั่นนี้เป็นฟังก์ชั่นเดิม <=> (∫v (x) DX) 'v = (x);
• คงถูกนำตัวออกมาจากใต้เครื่องหมายหนึ่ง <=> ∫kv (x) DX = k∫v (x) DX ที่ k - พล;
• หนึ่งซึ่งถูกนำมาจากผลรวมของเท่ากันเหมือนกันเพื่อผลรวมของปริพันธ์ <=> ∫ (V (y) + W (y)) DY = ∫v (y) + DY ∫w (y) DY

ทั้งสองคุณสมบัติที่ผ่านมาสามารถสรุปได้ว่าหนึ่งไม่แน่นอนเป็นเส้นตรง เนื่องจากนี้เรามี: ∫ (kV (y) DY + ∫ LW (y)) DY = k∫v (y) + DY l∫w (y) DY

หากต้องการดูตัวอย่างกำหนดวิธีปริพันธ์ไม่แน่นอน

คุณต้องพบ∫หนึ่ง (3sinx + 4cosx) DX:

• ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + ซี

จากตัวอย่างที่เราสามารถสรุปได้ว่าคุณไม่ทราบวิธีการแก้ปัญหาปริพันธ์ไม่แน่นอน? เพียงแค่หาวิทยาการทั้งหมด! แต่การค้นหาสำหรับหลักการที่กล่าวถึงข้างล่าง

วิธีการและตัวอย่าง

เพื่อที่จะแก้ปัญหาที่สำคัญคุณสามารถหันไปใช้วิธีการต่อไปนี้:

• พร้อมที่จะใช้ประโยชน์จากตาราง;
• การบูรณาการโดยส่วน;
• แบบบูรณาการโดยการเปลี่ยนตัวแปร;
• ข้อสรุปถึงภายใต้สัญลักษณ์ของค่าที่

ตาราง

วิธีที่ง่ายที่สุดและสนุก ในขณะที่การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สามารถอวดตารางที่กว้างขวางมากซึ่งสะกดออกสูตรพื้นฐานของปริพันธ์ไม่แน่นอน ในคำอื่น ๆ ที่มีแม่แบบที่ได้รับขึ้นอยู่กับคุณและคุณจะสามารถใช้ประโยชน์จากพวกเขา นี่คือรายการของตำแหน่งที่ตารางหลักซึ่งสามารถแสดงผลได้แทบทุกกรณีที่มีการแก้ปัญหา:

• ∫0dy = C ที่ C - คงที่
• ∫dy y = + C ที่ C - คงที่
• ∫y ⁿ DY = (y ^{1 + n)} / (n + 1) + C ที่ C - คงที่และ n - จำนวนที่แตกต่างจากความสามัคคี;
• ∫ (1 / y) DY = LN | Y | + C ที่ C - คงที่
• ^{∫e Y DY = อี Y + C} , ที่ C - คงที่
• ^{∫k Y DY = (k / y} LN k) + C ที่ C - คงที่
• ∫cosydy = siny + C ที่ C - คงที่
• ∫sinydy = -cosy + C ที่ C - คงที่
• ∫dy / cos ² การ y = TGY + C ที่ C - คงที่
• ∫dy / บาป ² การ y = -ctgy + C ที่ C - คงที่
• ∫dy / (1 + ^{2 y)} = arctgy + C ที่ C - คงที่
• ∫chydy = ขี้อาย + C ที่ C - คงที่
• ∫shydy = Chy + C ที่ C - คงที่

หากจำเป็นต้องทำให้คู่ของขั้นตอนนำไปสู่ integrand ไปยังมุมมองแบบตารางและเพลิดเพลินไปกับชัยชนะ ตัวอย่าง: ∫cos (5x -2) DX = 1 / 5∫cos (5x - 2) ง (5x - 2) = 1/5 x บาป (5x - 2) + ซี

ตามการตัดสินใจเป็นที่ชัดเจนว่าเช่น integrand ตารางขาดคูณ 5. เราเพิ่มควบคู่ไปกับการคูณนี้โดย 1/5 ถึงการแสดงออกโดยทั่วไปไม่ได้เปลี่ยน

บูรณาการโดยอะไหล่

พิจารณาสองฟังก์ชั่น - Z (y) และ x (y) พวกเขาจะต้องอย่างต่อเนื่องอนุพันธ์ในประสิทธิภาพสูง หนึ่งในคุณสมบัติที่แตกต่างของเรา: d (XZ) = xdz + ZDX การบูรณาการทั้งสองฝ่ายเราได้รับ: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + ZDX) => ZX = ∫zdx + ∫xdz

การเขียนสมการผลที่เราได้รับสูตรซึ่งอธิบายถึงวิธีการของการรวมกลุ่มโดยส่วน∫zdx = ZX - ∫xdz

ทำไมมันจึงเป็นสิ่งที่จำเป็น? ความจริงที่ว่าบางตัวอย่างมันเป็นไปได้ที่จะลดความซับซ้อนของสมมติว่าเพื่อลด∫xdz∫zdxถ้าหลังอยู่ใกล้กับรูปแบบตาราง นอกจากนี้สูตรนี้สามารถนำมาใช้มากกว่าหนึ่งครั้งเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด

วิธีการแก้ปัญหาปริพันธ์ไม่แน่นอนวิธีนี้:

• จำเป็นในการคำนวณ∫ (s + 1) E ds ^2s

∫ (x + ^{1) ds อี 2s = {Z =} s + 1, DZ = ds, y = 1 ^{/ 2E 2s, DY = อี 2x} ds} = ((s + 1) จ ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s DX = ((s + 1) ^{2s จ)} / 2-E ^2s / 4 + C;

• ต้องคำนวณ∫lnsds

∫lnsds = {Z = LNS, DZ = ds / s, y = s, DY = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (LNS-1) + ซี

การเปลี่ยนตัวแปร

หลักการของการแก้ปริพันธ์ไม่แน่นอนนี้ไม่น้อยในความต้องการกว่าก่อนหน้านี้สองแม้ว่าจะมีความซับซ้อน วิธีการดังต่อไปนี้: Let V (x) - หนึ่งของฟังก์ชั่นบางอย่างโวลต์ (x) ในกรณีที่อยู่ในตัวเองหนึ่งในตัวอย่างที่ slozhnosochinenny มามีแนวโน้มที่จะได้รับสับสนและลงไปแก้ปัญหาเส้นทางที่ผิด เพื่อหลีกเลี่ยงการเปลี่ยนแปลงการปฏิบัตินี้จากตัวแปร x ถึง z ซึ่งในการแสดงออกทั่วไปง่ายสายตาในขณะที่รักษา Z ขึ้นอยู่กับ x

ในแง่ทางคณิตศาสตร์นี้จะเป็นดังนี้: ∫v (x) DX = ∫v (y (z)) Y '(z) DZ = V (z) = V (y -1 (x)) ที่ x y = ( z) - เปลี่ยนตัว และแน่นอนฟังก์ชันผกผัน Z y = ^-1 (x) อย่างเต็มที่อธิบายถึงความสัมพันธ์และความสัมพันธ์ของตัวแปร หมายเหตุสำคัญ - DX ค่าจำเป็นต้องแทนที่ด้วย DZ ค่าใหม่นับตั้งแต่การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรหนึ่งในไม่แน่นอนเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนมันทุกที่ไม่เพียง แต่ใน integrand

ตัวอย่างเช่น:

• จะต้องพบ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) ds

สมัครเปลี่ยนตัว Z = (s + 1) / (s ² + 2s-5) จากนั้น DZ = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) = ds DZ / 2 เป็นผลให้การแสดงออกต่อไปนี้ซึ่งเป็นเรื่องง่ายมากในการคำนวณ:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) ds = ∫ (DZ / 2) / z = 1 / 2ln | Z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• คุณต้องพบว่าหนึ่ง∫2 ^s E ^s DX

เพื่อแก้ปัญหาการเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:

^{∫2 s E ds s = ∫ (} 2E) s ds

เราแสดงโดย = 2e (ทดแทนของการโต้แย้งขั้นตอนนี้ไม่ได้ก็ยังคง s), เราให้เรามีความซับซ้อนดูเหมือนส่วนประกอบที่สำคัญในรูปแบบตารางพื้นฐาน

^{∫ (2E) s = ds ∫a} s ds = a / s LNA + C = (2E) s / LN (2E) + C = 2 ^{วินาที} E ^S / LN (2 + LNE) + C = 2 ^s E / ^s (LN2 + 1) + ซี

ข้อสรุปถึงสัญญาณที่แตกต่างกัน

โดยและขนาดใหญ่วิธีนี้ของปริพันธ์ไม่แน่นอน - พี่ชายฝาแฝดของหลักการของการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร แต่มีความแตกต่างในกระบวนการของการลงทะเบียน ขอให้เราพิจารณาในรายละเอียดเพิ่มเติม

หาก∫v (x) DX = V (x) + C และการ y = Z (x) แล้ว∫v (y) DY = V (y) + ซี

ในขณะเดียวกันเราต้องไม่ลืมแปลงหนึ่งที่น่ารำคาญในหมู่ที่:

• DX = d (x +) และขัดแย้ง - แต่ละอย่างต่อเนื่อง;
• DX = (1 / a) d (ขวาน + B) ซึ่งเป็น - อย่างต่อเนื่องอีกครั้ง แต่ไม่เป็นศูนย์;
• xdx = 1/2 มิติ (x ² + ข);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx)

ถ้าเราพิจารณากรณีทั่วไปที่เราคำนวณไม่แน่นอนหนึ่งตัวอย่างสามารถวิทยภายใต้สูตรทั่วไป w '(x) = DX DW (x)

ตัวอย่าง:

• จะต้องพบ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = -ln | COSS | + ซี

ความช่วยเหลือออนไลน์

ในบางกรณีความผิดที่จะกลายเป็นหรือความเกียจคร้านหรือความจำเป็นเร่งด่วนคุณสามารถใช้แจ้งออนไลน์หรือมากกว่าที่จะใช้เครื่องคิดเลขปริพันธ์ไม่แน่นอน แม้จะมีความซับซ้อนที่เห็นได้ชัดและธรรมชาติของความขัดแย้งปริพันธ์การตัดสินใจที่จะเป็นไปตามขั้นตอนวิธีการเฉพาะของพวกเขาซึ่งเป็นไปตามหลักการของ "ถ้าคุณทำไม่ได้ ... แล้ว ... ที่"

แน่นอนว่าเป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนโดยเฉพาะอย่างยิ่งเช่นเครื่องคิดเลขจะไม่ต้นแบบที่มีในกรณีที่การตัดสินใจมีการหาเทียม "บังคับ" โดยการแนะนำองค์ประกอบบางอย่างในกระบวนการเพราะผลที่ได้คือวิธีที่เห็นได้ชัดในการเข้าถึง แม้จะมีความขัดแย้งของคำสั่งนี้มันเป็นความจริงเช่นคณิตศาสตร์ในหลักการวิทยาศาสตร์ที่เป็นนามธรรมและวัตถุประสงค์หลักของการพิจารณาความจำเป็นในการที่จะช่วยให้เส้นขอบ แท้จริงสำหรับเรียบทำงานในทฤษฎีเป็นเรื่องยากมากที่จะเลื่อนขึ้นและพัฒนาจึงไม่คิดว่าตัวอย่างของการแก้ปริพันธ์ไม่แน่นอนซึ่งทำให้เรา - นี่คือความสูงของโอกาส แต่กลับไปด้านเทคนิคของสิ่ง อย่างน้อยในการตรวจสอบการคำนวณที่คุณสามารถใช้บริการได้ในสิ่งที่มันถูกเขียนขึ้นเพื่อเรา หากมีความจำเป็นสำหรับการคำนวณอัตโนมัติของการแสดงออกที่ซับซ้อนแล้วพวกเขาก็จะได้ไม่ต้องหันไปใช้ซอฟแวร์ที่รุนแรงมากขึ้น ควรให้ความสนใจหลักในสภาพแวดล้อม MatLab

ใบสมัคร

การตัดสินใจของปริพันธ์ไม่แน่นอนได้อย่างรวดเร็วก่อนดูเหมือนเดี่ยวสมบูรณ์จากความเป็นจริงเพราะมันเป็นเรื่องยากที่จะเห็นการใช้งานที่เห็นได้ชัดของเครื่องบิน แท้จริงโดยตรงใช้พวกเขาทุกที่ที่คุณไม่สามารถทำได้ แต่พวกเขาเป็นองค์ประกอบกลางที่จำเป็นในกระบวนการของการถอนตัวของการแก้ปัญหาที่ใช้ในทางปฏิบัติ ดังนั้นการรวมของความแตกต่างด้านหลังจึงส่วนร่วมอย่างแข็งขันในกระบวนการของการแก้สมการ
ในทางกลับกันสมการเหล่านี้มีผลกระทบโดยตรงกับการตัดสินใจของปัญหาเครื่องจักรคำนวณวิถีและมีค่าการนำความร้อน - ในระยะสั้นทุกอย่างที่ถือว่าเป็นปัจจุบันและการสร้างอนาคต ไม่มีกำหนดหนึ่งตัวอย่างของการที่เราได้มีการพิจารณาข้างต้นเพียงเล็ก ๆ น้อย ๆ ได้อย่างรวดเร็วก่อนเป็นฐานในการดำเนินการค้นพบใหม่ ๆ มากขึ้นและมากขึ้น