แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะ กฎหมายของทฤษฎีความน่าจะ

หลายคนเมื่อต้องเผชิญกับความคิดของ "ทฤษฎีความน่าจะ" ที่กลัวคิดว่ามันเป็นสิ่งที่มากเกินไปเป็นเรื่องยากมาก แต่มันเป็นเรื่องจริงที่น่าเศร้าไม่ได้ดังนั้น วันนี้เรามองไปที่แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหาโดยตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม

วิทยาศาสตร์

สิ่งที่กำลังศึกษาสาขาของคณิตศาสตร์เป็น "ทฤษฎีความน่าจะ"? มันบันทึกรูปแบบ ของเหตุการณ์สุ่ม และตัวแปร เป็นครั้งแรกที่ปัญหาของนักวิทยาศาสตร์เป็นห่วงในศตวรรษที่สิบแปดการพนันเมื่อศึกษา แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่า - เหตุการณ์ มันเป็นความจริงใด ๆ ที่ระบุไว้โดยประสบการณ์หรือข้อสังเกต แต่สิ่งที่เป็นประสบการณ์? อีกแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น มันหมายความว่าส่วนหนึ่งของสถานการณ์นี้ไม่ได้สร้างขึ้นโดยไม่ได้ตั้งใจและมีวัตถุประสงค์ ในเรื่องเกี่ยวกับการเฝ้าระวังด้วยมีนักวิจัยของตัวเองไม่ได้มีส่วนร่วมในประสบการณ์ แต่เพียงพยานในเหตุการณ์เหล่านี้มันมีผลกระทบต่อสิ่งที่เกิดขึ้น

เหตุการณ์ที่เกิดขึ้น

เราได้เรียนรู้ว่าแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น - เหตุการณ์ แต่ไม่ได้พิจารณาการจัดหมวดหมู่ ทั้งหมดของพวกเขาจะถูกแบ่งออกเป็นประเภทต่อไปนี้:

• น่าเชื่อถือ
• เป็นไปไม่ได้
• สุ่ม

ไม่ว่ากรณีที่เป็นซึ่งเป็นที่ถูกจับตามองหรือสร้างขึ้นในหลักสูตรของการทดลองที่พวกเขาจะได้รับผลกระทบจากการจัดหมวดหมู่นี้ เรานำเสนอประเภทของการตอบสนองทุกแยก

เหตุการณ์บางอย่าง

นี่คือความจริงที่จะทำให้ชุดที่จำเป็นของกิจกรรม เพื่อให้ดีขึ้นเข้าใจสาระสำคัญมันจะดีกว่าที่จะให้ไม่กี่ตัวอย่าง นี้เป็นผู้ใต้บังคับบัญชาเป็นไปตามกฎหมายและฟิสิกส์, เคมี, เศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น ทฤษฎีความน่าจะรวมถึงการดังกล่าวเป็นแนวคิดที่สำคัญเป็นเหตุการณ์ที่สำคัญ นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

• เราทำงานและได้รับค่าตอบแทนในรูปแบบของค่าจ้าง
• ดีผ่านการสอบที่ผ่านการแข่งขันเพื่อให้ได้รับค่าตอบแทนในรูปแบบของการรับสมัครไปยังสถาบันการศึกษา
• เราได้ลงทุนเงินในธนาคารที่ได้รับพวกเขากลับมาถ้าจำเป็น

เหตุการณ์ดังกล่าวเป็นจริง ถ้าเราได้ปฏิบัติตามเงื่อนไขทั้งหมดที่จำเป็นต้องแน่ใจว่าจะได้รับผลที่คาดหวัง

เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้

ตอนนี้เราต้องพิจารณาองค์ประกอบของทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ เรานำเสนอที่จะไปชี้แจงในประเภทต่อไปนี้ของเหตุการณ์ - คือเป็นไปไม่ได้ การเริ่มต้นการกำหนดกฎที่สำคัญที่สุด - น่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้เป็นศูนย์

จากสูตรนี้ไม่สามารถ derogated ในการแก้ปัญหา เพื่อแสดงให้เห็นตัวอย่างของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นดังกล่าว

• น้ำถูกแช่แข็งที่อุณหภูมิบวกสิบ (มันเป็นไปไม่ได้)
• การขาดการไฟฟ้าไม่ได้ส่งผลกระทบต่อการผลิต (เป็นไปไม่ได้เช่นในตัวอย่างก่อนหน้านี้)

ตัวอย่างอื่น ๆ จะได้รับไม่จำเป็นตามที่อธิบายไว้ข้างต้นอย่างชัดเจนสะท้อนให้เห็นถึงสาระสำคัญของหมวดหมู่นี้ เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ไม่เคยเกิดขึ้นระหว่างการทดสอบภายใต้สถานการณ์ใด ๆ

เหตุการณ์สุ่ม

โดยการศึกษาองค์ประกอบของทฤษฎีความน่าจะให้ความสนใจเป็นพิเศษควรจะจ่ายให้กับประเภทที่กำหนดของเหตุการณ์ เหล่านี้เป็นคนที่เรียนวิทยาศาสตร์นี้ ในฐานะที่เป็นผลมาจากประสบการณ์ของบางสิ่งบางอย่างสามารถเกิดขึ้นได้หรือไม่ นอกจากนี้ผลการทดสอบได้ไม่ จำกัด จำนวนครั้งที่สามารถดำเนินการได้ ตัวอย่างที่เด่น ได้แก่ :

• โยนเหรียญ - มันเป็นประสบการณ์หรือการพิจารณาคดีการสูญเสียของนกอินทรี - เหตุการณ์นี้
• ดึงบอลจากถุงสุ่มสี่สุ่มห้า - test ถูกจับลูกบอลสีแดง - เหตุการณ์นี้และอื่น ๆ

ตัวอย่างดังกล่าวสามารถได้ไม่ จำกัด จำนวน แต่โดยทั่วไปจะต้องเข้าใจ เพื่อสรุปและจัดระบบความรู้ที่ได้มาเกี่ยวกับเหตุการณ์ของตาราง ศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นเพียงชนิดหลังของทั้งหมดที่นำเสนอ

กฎหมาย

ทฤษฎีความน่า - วิทยาศาสตร์ที่ศึกษาความเป็นไปได้ของการสูญเสียของเหตุการณ์ใด ๆ เหมือนคนอื่น ๆ ก็มีกฎบางอย่าง กฎหมายต่อไปของทฤษฎีความน่าจะ:

• การบรรจบกันของลำดับของตัวแปรสุ่ม
• กฎหมายจำนวนมาก

เมื่อมีการคำนวณความเป็นไปได้ของความซับซ้อนที่สามารถนำมาใช้ในการจัดกิจกรรมที่เรียบง่ายที่ซับซ้อนเพื่อให้บรรลุผลวิธีที่ง่ายและเร็วขึ้น มันควรจะตั้งข้อสังเกตว่ากฎหมายของทฤษฎีความน่าจะสามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายด้วยความช่วยเหลือของบางส่วนของทฤษฎีที่ เราขอแนะนำให้เริ่มต้นที่จะได้รับความคุ้นเคยกับกฎข้อที่หนึ่ง

การบรรจบกันของลำดับของตัวแปรสุ่ม

โปรดทราบว่าการบรรจบกันของหลายประเภทนี้:

• ลำดับของตัวแปรสุ่มบรรจบกันในความน่าจะเป็น
• เกือบเป็นไปไม่ได้
• อาร์คอนเวอร์เจนซ์
• บรรจบกันในการจัดจำหน่าย

ดังนั้นในการบินมันเป็นเรื่องยากมากที่จะเข้าใจสาระสำคัญ นี่คือคำจำกัดความที่จะช่วยให้เข้าใจหัวข้อ จะเริ่มต้นด้วยรูปแรก ลำดับที่เรียกว่าการบรรจบกันในความน่าจะเป็นถ้าเงื่อนไขต่อไปนี้: n แนวทางอินฟินิตี้จำนวนตามหาลำดับเป็นจำนวนมากกว่าศูนย์และอยู่ใกล้กับหน่วย

ไปที่มุมมองต่อไปเกือบจะแน่นอน พวกเขากล่าวว่าลำดับลู่เกือบแน่นอนให้กับตัวแปรสุ่มที่มี n พุ่งไปอินฟินิตี้และ R พุ่งไปเป็นค่าที่ใกล้เคียงกับความเป็นเอกภาพ

ประเภทต่อไป - บรรจบของ RMS เมื่อใช้ลู่ SC-การเรียนรู้ของกระบวนการสุ่มเวกเตอร์ช่วยลดการศึกษาของการประสานงานกระบวนการสุ่ม

เป็นชนิดที่ผ่านมาให้ดูสั้น ๆ และตรงไปแก้ปัญหา บรรจบกันในการกระจายมีชื่ออื่น - "อ่อนแอ" แล้วอธิบายว่าทำไม อ่อนแอบรรจบ - เป็นที่บรรจบกันของฟังก์ชั่นการกระจายในทุกจุดของความต่อเนื่องของฟังก์ชันการกระจายขีด จำกัด

ให้แน่ใจว่าจะรักษาสัญญา: ลู่อ่อนแอจะแตกต่างจากทั้งหมดข้างต้นว่าตัวแปรสุ่มไม่ได้กำหนดพื้นที่ความน่าจะเป็น นี้เป็นไปได้เพราะอยู่ในสภาพที่จะเกิดขึ้นโดยเฉพาะการใช้ฟังก์ชั่นการจัดจำหน่าย

กฎหมายจำนวนมาก

ผู้ช่วยที่ดีในการพิสูจน์ของกฎหมายที่จะทฤษฎีบทของทฤษฎีความน่าจะเช่น:

• ความไม่เท่าเทียมกันเซฟ
• ทฤษฎีบทเซฟของ
• ทฤษฎีบทเซฟทั่วไป
• ทฤษฎีบทมาร์คอฟ

ถ้าเราพิจารณาทฤษฎีบททั้งหมดเหล่านี้แล้วปัญหาอาจต้องใช้เวลาหลายสิบแผ่น เรามีงานหลัก - เป็นโปรแกรมของทฤษฎีความน่าจะในทางปฏิบัติ เราให้คุณในขณะนี้และทำมัน แต่ก่อนที่เราพิจารณาหลักการของทฤษฎีความน่าจะเป็นพวกเขาเป็นคู่ค้าที่สำคัญในการแก้ปัญหา

สัจพจน์

จากครั้งแรกที่เราได้เห็นแล้วเมื่อพูดคุยเกี่ยวกับเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ Let 's จำไว้ว่าน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้เป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่นเราให้สดใสมากและน่าจดจำ: หิมะตกอยู่ที่อุณหภูมิของอากาศสามสิบองศาเซลเซียส

ประการที่สองคือดังนี้เหตุการณ์บางอย่างเกิดขึ้นกับความสามัคคีความน่าจะเป็น ตอนนี้เราจะแสดงให้เห็นว่ามันถูกเขียนด้วยความช่วยเหลือของภาษาทางคณิตศาสตร์: P (B) = 1

ที่สาม: เหตุการณ์สุ่มอาจจะเกิดขึ้นหรือไม่ แต่ความเป็นไปได้อยู่เสมอแตกต่างจากศูนย์ถึงหนึ่ง ใกล้ชิดก็คือการสามัคคีมีโอกาสมากขึ้น; ถ้าค่าอยู่ใกล้กับศูนย์น่าจะอยู่ในระดับต่ำมาก เราเขียนนี้ในภาษาทางคณิตศาสตร์: 0

พิจารณาสุดท้ายความจริงที่สี่ที่: ผลรวมของความน่าจะเป็นของทั้งสองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะมีค่าเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของพวกเขา เขียนแง่ทางคณิตศาสตร์: P (A + B) = P (A) + P (B)

หลักการของทฤษฎีความน่าจะเป็น - มันเป็นกฎง่ายๆที่จะไม่เป็นเรื่องยากที่จะจำ ลองพยายามที่จะแก้ปัญหาบางอย่างอยู่บนพื้นฐานของความรู้ที่ได้มาแล้ว

สลากกินแบ่ง

ก่อนพิจารณาตัวอย่างที่ง่ายที่สุด - การจับสลาก ลองจินตนาการว่าคุณซื้อสลากกินแบ่งโชคดี น่าจะเป็นที่ที่คุณจะชนะอย่างน้อยยี่สิบรูเบิลคืออะไร? การไหลเวียนของทั้งหมดที่มีส่วนเกี่ยวข้องในพันตั๋วซึ่งหนึ่งในนั้นมีรางวัลห้าร้อยรูเบิล 1,000 รูเบิลยี่สิบห้าสิบรูเบิลและ 100-5 งานของทฤษฎีของความน่าจะเป็นในการที่จะหาวิธีที่จะโชคซึ่งเป็นไปตาม ตอนนี้เราร่วมกันวิเคราะห์การตัดสินใจดังกล่าวข้างต้นมุมมองงานเมื่อต้องการ

ถ้าเราใช้แสดงโดยรางวัลห้าร้อยรูเบิลแล้วน่าจะเป็นของมีค่าเท่ากับ 0.001 ทำอย่างไรเราจะได้รับ? เพียงแค่ต้องจำนวนของ "โชคดี" ตั๋วหารด้วยจำนวน (ในกรณีนี้: 1/1000)

ใน - กำไรจากหนึ่งร้อยรูเบิลน่าจะเป็นจะเท่ากับ 0.01 ตอนนี้เราได้ทำหน้าที่ในลักษณะเดียวกับการดำเนินการที่ผ่านมา (10/1000)

C - ผลตอบแทนเป็นยี่สิบรูเบิล ค้นหาความเป็นไปได้ก็จะมีค่าเท่ากับ 0.05

ส่วนที่เหลือของตั๋วที่เราไม่ได้สนใจเป็นเงินรางวัลของพวกเขาคือน้อยกว่าที่ระบุไว้ในเงื่อนไข ใช้ความจริงที่สี่: น่าจะเป็นในการชนะอย่างน้อยยี่สิบรูเบิลคือ P (A) + P (B) + P (C) ตัวอักษร P หมายถึงความน่าจะเป็นที่มาของเหตุการณ์ที่เราอยู่ในขั้นตอนก่อนหน้าได้พบแล้วพวกเขา มันยังคงอยู่เพียงวางข้อมูลที่จำเป็นในการตอบสนองที่เราได้รับ 0.061 จำนวนนี้จะเป็นคำตอบสำหรับคำถามของงานที่

ดาดฟ้าของบัตร

ปัญหาเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะยังมีความซับซ้อนมากขึ้นเช่นการใช้งานต่อไป ก่อนที่คุณจะดาดฟ้าของสามสิบหกบัตร งานของคุณ - การวาดไพ่สองใบในแถวโดยไม่ต้องผสมกองบัตรครั้งแรกและครั้งที่สองจะต้องเป็นเอซ, ชุดไม่ได้เรื่อง

เพื่อเริ่มต้นการค้นหาเป็นไปได้ว่าไพ่ใบแรกเป็นเอซหารนี้โดยสี่สามสิบหก ตั้งกัน เราได้รับบัตรที่สองคือ ace กับความน่าจะเป็นของ 335 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สองขึ้นอยู่กับบัตรเราดึงคนแรกที่เรามีความสนใจในมันเป็นคนเก่งหรือไม่ จากนี้ก็ต่อว่าในกรณีที่ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ A.

ขั้นตอนต่อไปเราจะพบความน่าจะเป็นของการดำเนินการพร้อมกันคือคูณ A และ B งานของพวกเขาจะเป็นดังนี้: น่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งคูณด้วยน่าจะเป็นเงื่อนไขของผู้อื่นเราจะคำนวณสมมติว่าเหตุการณ์ครั้งแรกที่เกิดขึ้นคือไพ่ใบแรกเราดึงคนเก่ง

เพื่อที่จะกลายเป็นที่ชัดเจนทั้งหมดให้การกำหนดองค์ประกอบเช่น ความน่าจะเป็นเงื่อนไขของ เหตุการณ์ จะมีการคำนวณโดยสมมติเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น จะมีการคำนวณดังนี้ P (B / A)

เราขยายวิธีการแก้ปัญหาของเรา: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) หรือ P (A _* B) = P (B) _* P (A / B) ความน่าจะเป็น _{(4/36) * ((3/35)} / (4/36) จะถูกคำนวณโดยปัดเศษร้อยที่ใกล้ที่สุดเรามี: .. _* 0.11 (0.09 / 0.11) = 0.11 _* 0, 82 = 0.09. น่าจะเป็นที่เราวาดออกสองเอซในแถวเท่ากับ 9/100. ค่าที่มีขนาดเล็กมากก็ต่อว่าน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ที่อยู่ในระดับต่ำมาก

ห้องลืม

เรานำเสนอให้ออกตัวเลือกมากขึ้นบางส่วนของงานที่ศึกษาทฤษฎีของความน่าจะเป็น ตัวอย่างของการแก้ปัญหาของบางส่วนของคนที่คุณเคยเห็นในบทความนี้พยายามที่จะแก้ปัญหาต่อไปนี้: เด็กลืมหมายเลขโทรศัพท์สำหรับหลักสุดท้ายของเพื่อนของเขา แต่เนื่องจากการเรียกร้องเป็นเรื่องสำคัญมากจากนั้นก็เริ่มที่จะรับในทางกลับกัน เราจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่เขาจะเรียกไม่เกินสามครั้ง วิธีที่ง่ายที่สุดของปัญหาถ้าคุณรู้ว่ากฎระเบียบกฎหมายและหลักการของทฤษฎีความน่าจะเป็น

ก่อนที่คุณจะเห็นวิธีการแก้ปัญหาพยายามที่จะแก้ได้ด้วยตัวเอง เรารู้ว่าตัวเลขหลังอาจจะมาจากศูนย์ถึงเก้ารวมเป็นสิบค่า คะแนนความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ 1/10

ต่อไปเราจะต้องพิจารณาตัวเลือกสำหรับที่มาของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นให้เราคิดว่าเด็กเดาถูกและได้รับรางวัลที่เหมาะสมน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าวมีค่าเท่ากับ 1/10 ตัวเลือกที่สอง: สลิปสายแรกและเป้าหมายที่สอง เราคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าว: 9/10 คูณด้วย 1/9 ในท้ายที่สุดเราได้รับเป็น 1/10 ตัวเลือกที่สาม: สายแรกและครั้งที่สองเปิดออกมาเป็นที่อยู่ผิดเพียงเด็กที่สามคือที่ที่เขาต้องการ คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าว: 9/10 คูณด้วย 8/9 และ 1/8 เราได้รับเป็นผลมาจาก 1/10 ตัวเลือกอื่น ๆ เกี่ยวกับสภาพของปัญหาที่เราไม่ได้สนใจเรื่องนี้ยังคงอยู่ที่เราจะล้มตัวลงนอนผลลัพธ์เหล่านี้ในท้ายที่สุดเรามี 3/10 คำตอบ: น่าจะเป็นที่ผู้ชายคนหนึ่งจะเรียกไม่เกินสามครั้งเท่ากับ 0.3

การ์ดกับตัวเลข

ก่อนที่คุณจะไพ่เก้าแต่ละแห่งซึ่งถูกเขียนตัวเลข 1-9 ตัวเลขไม่ได้ซ้ำแล้วซ้ำอีก พวกเขาใส่ในกล่องและผสมอย่างทั่วถึง คุณจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นว่า

• รีดเลขคู่;
• สองหลัก

ก่อนที่จะดำเนินไปสู่การตัดสินใจกำหนดว่า M - คือจำนวนผู้ป่วยที่ประสบความสำเร็จและ n - คือจำนวนของตัวเลือก ให้เราหาโอกาสที่ตัวเลขคือแม้ ไม่ได้เป็นเรื่องยากที่จะคำนวณว่าแม้ตัวเลขของสี่และมันก็เป็นเมตรของเราทั้งเก้าตัวเลือกที่เป็นไปได้, ที่อยู่, m = 9 แล้วน่าจะมีค่าเท่ากับ 0.44 หรือ 4/9

เราพิจารณากรณีที่สองจำนวนของสายพันธุ์ของเก้าและผลสำเร็จไม่สามารถที่ทุกคนที่เป็นเมตรเป็นศูนย์ น่าจะเป็นที่การ์ดยาวจะมีจำนวนสองหลักเป็นศูนย์