รัสเซลเส้นขนาน: ข้อมูลพื้นฐานตัวอย่างสูตร

รัสเซลเส้นขนานสอง antinomy ตรรกะการพึ่งพาซึ่งกันและกัน

สองรูปแบบของความขัดแย้งของรัสเซล

ที่กล่าวถึงบ่อยที่สุดรูปแบบของความขัดแย้งในชุดตรรกะ บางส่วนของชุดที่ดูเหมือนว่าจะต้องเป็นสมาชิกของตัวเองและคนอื่น ๆ - ไม่มี ชุดของทุกชุดเป็นตัวกำหนดเพื่อให้ดูเหมือนว่ามันหมายถึงตัวเอง Null หรือเปล่า แต่ไม่ควรจะเป็นสมาชิกของตัวเอง ดังนั้นชุดทุกชุดเป็นศูนย์ที่ไม่ได้รวมอยู่ในตัวของมันเอง ความขัดแย้งเกิดขึ้นเมื่อถามว่าชุดของสมาชิกของตัวเองที่ นี้เป็นไปได้และถ้าหากมันไม่ได้เป็น

ความขัดแย้งอีกรูปแบบหนึ่งคือความขัดแย้งที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติ คุณสมบัติบางอย่างดูเหมือนว่าจะเรียกตัวเองขณะที่คนอื่นไม่ได้ สถานที่ให้บริการเพื่อเป็นทรัพย์สินของตัวเองเป็นสถานที่ให้บริการในขณะที่สถานที่ไม่ว่าจะเป็นแมวที่ไม่ได้เป็น พิจารณาคุณสมบัติของการมีทรัพย์สินที่ไม่ได้อยู่กับเขา ถ้านำไปใช้กับตัวเอง? อีกครั้งสมมติฐานใด ๆ ที่ควรจะตรงข้าม ความขัดแย้งเป็นชื่อในเกียรติของเบอร์ทรานด์รัสเซลล์ (1872-1970) ผู้ค้นพบมันในปี 1901

เรื่องราว

เปิดรัสเซลเกิดขึ้นระหว่างการทำงานของเขาใน "หลักการคณิตศาสตร์" แม้ว่าเขาจะค้นพบความขัดแย้งอย่างอิสระมีหลักฐานว่านักคณิตศาสตร์และนักพัฒนาอื่น ๆ ของการตั้งทฤษฎีรวมทั้งแอนสท์เซอร์เมโลและ เดวิดฮิลแบร์ต มีความตระหนักในรุ่นแรกของความขัดแย้งก่อนหน้าเขา รัสเซล แต่เป็นครั้งแรกที่มีการหารือในรายละเอียดความขัดแย้งในการตีพิมพ์ผลงานของเขาเป็นครั้งแรกพยายามที่จะกำหนดแก้ปัญหาและเป็นครั้งแรกอย่างเต็มที่ขอบคุณความสำคัญของมัน ทั้งบทของ "หลักการ" ได้อุทิศให้กับการอภิปรายของปัญหานี้และโปรแกรมประยุกต์ที่ได้อุทิศให้กับทฤษฎีของประเภทซึ่งรัสเซลเสนอเป็นวิธีแก้ปัญหา

รัสเซลค้นพบ "ความขัดแย้งของคนโกหก' พิจารณาทฤษฎีเซตต้นเสียงที่บอกว่าพลังของชุดใด ๆ ที่มีขนาดเล็กกว่าชุดย่อยของ อย่างน้อยในโดเมนย่อยควรจะได้มากเท่าที่มีองค์ประกอบในนั้นถ้าย่อยของแต่ละองค์ประกอบมีการตั้งค่าที่มีเพียงองค์ประกอบนี้ นอกจากต้นเสียงพิสูจน์ให้เห็นว่าจำนวนขององค์ประกอบที่ไม่สามารถจะเท่ากับจำนวนของย่อย ถ้ามีหมายเลขเดียวกันก็จะต้องมีอยู่คุณลักษณะƒที่จะแสดงองค์ประกอบในส่วนย่อยของพวกเขา ในขณะเดียวกันก็สามารถพิสูจน์ให้เห็นว่าเป็นไปไม่ได้ บางรายการอาจจะแสดงบนย่อยฟังก์ชั่นƒที่มีพวกเขาขณะที่คนอื่นอาจจะไม่

พิจารณาย่อยขององค์ประกอบที่ไม่ได้เป็นภาพของพวกเขาที่พวกเขาแสดงƒ มันเป็นตัวเองเป็นส่วนหนึ่งขององค์ประกอบและดังนั้นฟังก์ชั่นƒจะแสดงบนองค์ประกอบประสิทธิภาพด้วย ปัญหาคือว่าแล้วคำถามที่เกิดขึ้นเป็นไปได้ว่าองค์ประกอบนี้เป็นส่วนย่อยที่จะแสดงƒ นี้เป็นไปได้ แต่ถ้ามันไม่ได้อยู่ ความขัดแย้งของรัสเซลสามารถมองเห็นเป็นตัวอย่างของสายเดียวกันของเหตุผลที่ง่ายเท่านั้น อะไรคือสิ่งที่มากขึ้น - ชุดหรือส่วนย่อยของชุด? มันจะดูเหมือนว่าควรจะมีชุดมากขึ้นเป็นส่วนย่อยทุกชุดของตัวเอง แต่ถ้าทฤษฎีบทของต้นเสียงเป็นจริงแล้วควรจะมีการย่อยมากขึ้น รัสเซลได้รับการยกย่องเพียงแสดงชุดในตัวเองและนำไปใช้วิธีการพิจารณา kantoriansky ชุดขององค์ประกอบเหล่านี้นอกชุดที่พวกเขาจะปรากฏ แสดงรัสเซลกลายเป็นชุดทุกชุดที่ไม่ใช่

ข้อผิดพลาด Frege

"ความขัดแย้งของคนโกหก" มีผลกระทบต่อพัฒนาการทางประวัติศาสตร์ของทฤษฎีของชุด เขาแสดงให้เห็นว่าแนวคิดของชุดสากลเป็นปัญหาอย่างมาก นอกจากนี้เขายังถามความคิดที่ว่าแต่ละเงื่อนไขที่กำหนดไว้หรือกริยาสามารถสันนิษฐานได้ว่าการดำรงอยู่ของส่วนใหญ่ของสิ่งเหล่านั้นเท่านั้นที่ตอบสนองเงื่อนไขนี้ที่ ตัวเลือกที่ขัดแย้งเกี่ยวกับคุณสมบัติ - เป็นส่วนขยายของธรรมชาติชุดรุ่น - ข้อสงสัยร้ายแรงเป็นไปได้ว่ามันเป็นไปได้ที่จะโต้แย้งเกี่ยวกับการดำรงอยู่วัตถุประสงค์ของสถานที่ให้บริการหรือตามมาตรฐานสากลให้กับแต่ละกำหนดโดยเงื่อนไขหรือคำกริยา

เร็ว ๆ นี้ความขัดแย้งและปัญหาในการทำงานของ logicians ถูกพบนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ที่ได้ทำสมมติฐานที่คล้ายกัน ในปี 1902, รัสเซลพบว่าแตกต่างจากความขัดแย้งสามารถแสดงออกในระบบตรรกะการพัฒนาในเล่มผมของก็อตต์ล็อบเฟรกของ "ฐานรากของคณิตศาสตร์" หนึ่งในผลงานหลักในตรรกะของเก้าปลาย - ต้นศตวรรษที่ XX ในปรัชญาของ Frege หลายเข้าใจว่าเป็น "ส่วนขยาย" หรือ "ค่าช่วง" แนวคิด แนวคิดนี้เป็นที่อยู่ใกล้กับที่ของความสัมพันธ์ พวกเขาคาดว่าจะมีอยู่สำหรับเงื่อนไขที่กำหนดหรือคำกริยา ดังนั้นจึงมีแนวคิดของชุดที่ไม่ได้ตกอยู่ภายใต้แนวคิดการกำหนดของมัน นอกจากนี้ยังมีระดับที่กำหนดโดยแนวคิดนี้และมันก็เป็นเรื่องที่จะกำหนดแนวความคิดเท่านั้นถ้ามันไม่ได้

รัสเซลเขียนถึง Frege เกี่ยวกับความขัดแย้งในมิถุนายน 1902 สารบรรณได้กลายเป็นหนึ่งในที่น่าตื่นเต้นมากที่สุดและพูดคุยเกี่ยวกับในประวัติศาสตร์ของตรรกะ Frege จำได้ทันทีว่าผลร้ายของความขัดแย้ง เขาตั้งข้อสังเกตอย่างไรว่ารุ่นของความขัดแย้งที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติในปรัชญาของเขาได้รับการแก้ไขโดยความแตกต่างระหว่างแนวคิดของระดับ

ความคิดของ Frege เข้าใจว่าการเปลี่ยนแปลงจากการขัดแย้งของฟังก์ชั่นในการที่แท้จริง แนวความคิดในระดับแรกการเป็นอาร์กิวเมนต์วัตถุของแนวคิดระดับที่สองใช้เป็นข้อโต้แย้งที่จะฟังก์ชั่นเหล่านี้และอื่น ๆ ดังนั้นแนวคิดไม่สามารถใช้ตัวเองเป็นอาร์กิวเมนต์และความขัดแย้งในแง่ของคุณสมบัติที่ไม่สามารถถูกกำหนด อย่างไรก็ตามชุดการขยายตัวหรือแนวคิด Frege เข้าใจว่าหมายถึงประเภทตรรกะเดียวกับที่ของวัตถุอื่น ๆ แล้วทุกชุดมีคำถามไม่ว่าจะตกอยู่ภายใต้แนวคิดของการกำหนดมันได้

เมื่อ Frege รัสเซลได้รับตัวอักษรตัวแรก, เล่มที่สองของ "ฐานรากของคณิตศาสตร์" เสร็จสิ้นการพิมพ์แล้ว เขาถูกบังคับให้รวดเร็วเตรียมโปรแกรมที่จะช่วยให้คำตอบสำหรับความขัดแย้งของรัสเซลด้วย ตัวอย่าง Frege มีจำนวนของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ แต่เขาก็มาถึงข้อสรุปที่จะลดลงแนวคิดของชุดนามธรรมในระบบลอจิคัล

เดิมมันเป็นไปได้ที่จะสรุปได้ว่าวัตถุที่เป็นชุดเดียวและถ้าหากมันตกอยู่ภายใต้แนวความคิดกำหนดมัน ระบบปรับปรุงเท่านั้นที่สามารถสรุปได้ว่าวัตถุที่เป็นชุดเดียวและถ้าหากมันอยู่ในความคิดของการกำหนดจำนวนมาก แต่ไม่ได้ตั้งค่าในคำถาม ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นของรัสเซล

วิธีการแก้ปัญหาอย่างไรไม่พอใจอย่างสิ้นเชิงกับ Frege และนี่คือเหตุผลที่ หลายปีต่อมารูปแบบที่ซับซ้อนมากขึ้นของความขัดแย้งที่ได้รับการค้นพบระบบที่ปรับปรุงใหม่ แต่ถึงแม้ก่อนหน้านี้เกิดขึ้น Frege ละทิ้งการตัดสินใจของเขาและดูเหมือนจะมาสรุปว่าวิธีการของเขาก็ทำไม่ได้เพียงและตรรกะที่จะต้องทำโดยไม่ต้องมีการกำหนด

คนอื่น ๆ ยังได้รับการเสนอโซลูชั่นทางเลือกที่ค่อนข้างประสบความสำเร็จมาก เหล่านี้จะกล่าวถึงด้านล่าง

ทฤษฎีประเภท

มันเป็นข้อสังเกตข้างต้น Frege ที่ได้รับการตอบสนองที่เพียงพอที่จะขัดแย้ง ของทฤษฎีเซต ในรุ่นสูตรสำหรับคุณสมบัติ การตอบสนองของ Frege ถูกนำหน้าด้วยการแก้ปัญหาที่กล่าวถึงบ่อยที่สุดในรูปแบบของความขัดแย้งนี้ มันขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าคุณสมบัติเป็นเรื่องที่แตกต่างกันและสิ่งที่ประเภทของทรัพย์สินจะไม่เหมือนเดิมเป็นรายการที่มันหมายถึง

ดังนั้นจึงไม่ได้คำถามที่เกิดขึ้นไม่ว่าจะเป็นสถานที่ให้มีผลบังคับใช้กับตัวเอง ภาษาตรรกะซึ่งแยกองค์ประกอบของเช่นลำดับชั้นโดยใช้ทฤษฎีของประเภท แม้ว่ามันจะถูกใช้ไปแล้วโดย Frege, ครั้งแรกที่จะมีการอธิบายอย่างเต็มที่และยืนยันรัสเซลในภาคผนวกที่ "หลักการ" ทฤษฎีของประเภทเสร็จสมบูรณ์มากกว่าความแตกต่างของระดับ Frege เธอร่วมคุณสมบัติไม่เพียง แต่แตกต่างกันของตรรกะ แต่ยังตั้ง พิมพ์ทฤษฎีที่จะแก้ปัญหาความขัดแย้งในความขัดแย้งของรัสเซลดังนี้

เพื่อที่จะให้เพียงพอปรัชญาการยอมรับของทฤษฎีของประเภทของคุณสมบัติที่ต้องมีการพัฒนาของทฤษฎีของธรรมชาติของคุณสมบัติเพื่อให้ที่สามารถอธิบายได้ว่าทำไมพวกเขาไม่สามารถนำไปใช้กับตัวเอง ได้อย่างรวดเร็วก่อนก็จะทำให้ความรู้สึกที่จะสรุปคุณสมบัติของตัวเอง คุณสมบัติของการเป็นตัวตนของตัวเองก็จะดูเหมือนก็ยังเป็นเอกลักษณ์ในตัวเอง สถานที่น่าจะเป็นที่สนุกสนานดี ในลักษณะเดียวกับที่เห็นได้ชัดก็ดูเหมือนเท็จจะบอกว่าคุณสมบัติของการเป็นแมวเป็นแมว

อย่างไรก็ตามนักคิดต่างๆธรรมส่วนหนึ่งของประเภทที่แตกต่างกัน รัสเซลยังให้คำอธิบายที่แตกต่างกันในช่วงเวลาที่แตกต่างกันในอาชีพของเขา สำหรับส่วนของเหตุผลในการแยกของแนวความคิดที่แตกต่างกันของระดับ Frege มาจากทฤษฎีของแนวคิดที่ไม่อิ่มตัว แนวคิดเป็นฟังก์ชั่นในสาระสำคัญจะไม่สมบูรณ์ เพื่อให้ค่าที่พวกเขาต้องทะเลาะกัน คุณไม่สามารถเพียงหนึ่งแนวคิดในการสรุปแนวคิดของประเภทเดียวกันเพราะมันยังคงต้องโต้แย้ง ยกตัวอย่างเช่นแม้ว่ามันจะเป็นไปได้ที่จะใช้รากที่สองของรากที่สองของจำนวนที่คุณไม่สามารถเพียงแค่ใช้ฟังก์ชั่นรากที่สองไปยังฟังก์ชันรากที่สองและได้รับผล

เกี่ยวกับคุณสมบัติของนักอนุรักษ์

อีกวิธีที่เป็นไปได้คือการดำรงอยู่คุณสมบัติคุณสมบัติขัดแย้งปฏิเสธภายใต้เงื่อนไขใดก็ตามหรือรูปแบบที่ดีกริยา แน่นอนถ้ามีคนหลีกเลี่ยงคุณสมบัติเลื่อนลอยของทั้งสององค์ประกอบวัตถุประสงค์และเป็นอิสระโดยรวมถ้าเราเอาความขัดแย้ง nominalism สามารถหลีกเลี่ยงได้อย่างสมบูรณ์

อย่างไรก็ตามในการแก้ antinomy ไม่จำเป็นต้องมากดังนั้น ลอจิกระบบที่สูงขึ้นเพื่อพัฒนา Frege และรัสเซล, มีสิ่งที่เรียกว่าหลักการแนวความคิดตามที่แต่ละคนเปิดสูตรโดยไม่คำนึงถึงวิธีการที่ซับซ้อนที่มีอยู่เป็นส่วนหนึ่งของทรัพย์สินหรือแนวคิดเช่นเฉพาะรายการที่ตรงกับสูตร พวกเขานำไปใช้กับคุณลักษณะของทุกชุดเป็นไปได้ของเงื่อนไขหรือภาค, ไม่ว่าวิธีการที่ซับซ้อนที่พวกเขา

แต่มันเป็นไปได้ที่จะใช้คุณสมบัติอภิธรรมที่เข้มงวดมากขึ้นให้สิทธิในการดำรงอยู่วัตถุประสงค์ของคุณสมบัติที่เรียบง่ายเช่นเช่นสีแดงกระชับความเมตตาและอื่นง. คุณยังสามารถให้คุณสมบัติเหล่านี้นำไปใช้กับตัวเองเช่นความเมตตาสามารถ ใจดี

และสถานะเดียวกันสำหรับแอตทริบิวต์ที่ซับซ้อนสามารถปฏิเสธเช่นเช่น "คุณสมบัติ" ที่มีเจ็ดหัวถูกเขียนภายใต้น้ำและชอบง. ในกรณีนี้ไม่มีเงื่อนไขที่กำหนดไว้ไม่ตรงตามคุณสมบัติที่เข้าใจว่าเป็นแยก องค์ประกอบที่มีอยู่ซึ่งมีคุณสมบัติของตัวเอง ดังนั้นเราจึงสามารถปฏิเสธการดำรงอยู่ของคุณสมบัติที่เรียบง่ายเป็นสถานที่ให้บริการที่ไม่ใช่นำไปใช้เพื่อตนเองและหลีกเลี่ยงความขัดแย้งโดยใช้คุณสมบัติเลื่อนลอยอนุรักษ์นิยมมากขึ้น

รัสเซลเส้นขนาน: การแก้ปัญหา

ข้างต้นนั้นก็สังเกตเห็นว่าในตอนท้ายของชีวิตของเขา Frege สมบูรณ์ละทิ้งตรรกะของชุด นี้แน่นอนหนึ่งวิธีการแก้ antinomy ในรูปแบบของชุดนี้ปฏิเสธที่เรียบง่ายของการดำรงอยู่ขององค์ประกอบต่างๆในภาพรวม นอกจากนี้ยังมีทางเลือกอื่น ๆ ที่นิยมพื้นฐานซึ่งเป็นที่แสดงด้านล่าง

ทฤษฎีหลายประเภท

ดังกล่าวก่อนหน้ารัสเซลเล่นให้กับทฤษฎีที่สมบูรณ์มากขึ้นชนิดที่จะร่วมกันไม่เพียง แต่คุณสมบัติหรือแนวความคิดที่แตกต่างกัน แต่ยังตั้ง รัสเซลที่ใช้ร่วมกันตั้งอยู่บนส่วนใหญ่ของหน่วยแยกเป็นสัดส่วนใหญ่ของชุดของวัตถุที่แยกต่างหาก ฯลฯ ชุดของวัตถุที่ไม่ได้พิจารณาและส่วนใหญ่ของชุดที่ - .. ชุด จำนวนมากไม่เคยมีความสุขชนิดช่วยให้คุณได้เป็นสมาชิกของตัวเอง ดังนั้นจึงมีชุดทุกชุดที่ไม่ได้เป็นสมาชิกของตัวเองไม่เพราะสำหรับชุดของคำถามเกี่ยวกับการไม่ว่าจะเป็นในฐานะสมาชิกคนใดเป็นตัวเองประเภทการละเมิด อีกครั้งปัญหาที่นี่คือการอธิบายชุดอภิธรรมอธิบายถึงรากฐานปรัชญาของการแบ่งออกเป็นประเภท

การแบ่งชั้น

ในปี 1937 โวลต์โวลต์ Kuayn ได้เสนอวิธีการแก้ปัญหาทางเลือกในลักษณะคล้ายกับทฤษฎีของประเภทที่ ข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับมัน

แยกชุดองค์ประกอบและคนอื่น ๆ . ทำเพื่อให้สมมติฐานในการหาส่วนใหญ่มักจะไม่ถูกต้องหรือความหมาย ชุดเท่านั้นที่สามารถให้เมื่อการกำหนดเงื่อนไขของพวกเขาไม่ได้เป็นประเภทการละเมิด ดังนั้นสำหรับควิน, การแสดงออก "x ไม่ได้เป็นสมาชิกของ X" เป็นคำสั่งที่มีความหมายไม่ได้หมายความถึงการดำรงอยู่ของชุดขององค์ประกอบทั้งหมด x พอใจเงื่อนไขนี้

ในระบบนี้เป็นชุดที่มีอยู่สำหรับบางคนเปิดสูตรและถ้าหากมันเป็นแซดที. อีหากตัวแปรที่ได้รับมอบหมายจำนวนเต็มบวกดังกล่าวว่าเกิดขึ้นแต่ละลักษณะของส่วนใหญ่ของก่อนหน้านั้นตัวแปรที่ได้รับมอบหมายหน่วยที่ได้รับมอบหมายมีขนาดเล็กกว่าตัวแปร ต่อไปนี้หลังจากเขา ความขัดแย้งนี้บล็อกของรัสเซลตั้งแต่สูตรที่ใช้ในการกำหนดชุดปัญหาที่มีเหมือนกันก่อนและหลังการเข้าสู่ระบบสมาชิกตัวแปรทำให้ unstratified

แต่มันก็ยังไม่ได้ตรวจสอบว่าระบบที่เกิดซึ่งควินเรียกว่า "ฐานรากใหม่ของตรรกะทางคณิตศาสตร์" ที่สอดคล้องกัน

การปฏิเสธ

วิธีการที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิงจะนำมาในทฤษฎีของ Zermelo - การ Fraenkel (ZF) นี่เกินไปกำหนดวงเงินในการดำรงอยู่ของชุด แต่วิธีการ "บนลงล่าง" ของรัสเซลและ Frege แรกที่คิดว่าทุกแนวคิดคุณสมบัติหรือเงื่อนไขอาจแนะนำการดำรงอยู่ของชุดของทุกสิ่งที่มีคุณสมบัติหรือเพื่อตอบสนองสภาพดังกล่าวใน ZF ทฤษฎีทุกอย่างเริ่มต้น "จากด้านล่างขึ้น."

แต่ละองค์ประกอบของชุดที่ว่างเปล่าและรูปแบบที่กำหนด ดังนั้นแตกต่างจากระบบก่อนหน้านี้และรัสเซลล์เฟรก FIT ไม่ได้อยู่ในชุดสากลซึ่งรวมถึงองค์ประกอบทั้งหมดและแม้กระทั่งทุกชุด ZF กำหนดขีด จำกัด ที่เข้มงวดเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของชุด อาจมีอยู่เฉพาะผู้ซึ่งมันคือการตั้งสมมติฐานอย่างชัดเจนหรืออาจถูกกำหนดโดยวิธีการของกระบวนการซ้ำและชอบง.

แล้วแทนที่จะเป็นชุดไร้เดียงสาแนวคิดนามธรรมซึ่งระบุว่าเป็นองค์ประกอบโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นที่รวมอยู่ในชุดเดียวและถ้าหากเป็นไปตามเงื่อนไขในหลักการแยกที่ใช้ DF แยกหรือ "การเรียงลำดับ" แทนที่จะสมมติว่าการดำรงอยู่ของชุดขององค์ประกอบทั้งหมดที่เป็นโดยไม่มีข้อยกเว้นตอบสนองเงื่อนไขบางอย่างสำหรับแต่ละชุดที่มีอยู่ Aussonderung ที่แสดงให้เห็นการดำรงอยู่ของส่วนย่อยขององค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ในชุดเดิมที่ตอบสนองเงื่อนไข

แล้วก็มาถึงหลักการนามธรรม: ถ้าชุดที่มีอยู่แล้วสำหรับทุก x A, x เป็นของส่วนย่อยซึ่งตอบสนองเงื่อนไขถ้าหากว่า x ตอบสนองเงื่อนไข C. วิธีการนี้จะช่วยแก้ปัญหาความขัดแย้งรัสเซลเนื่องจากเราไม่สามารถเพียงแค่สมมติ นั่นคือชุดทุกชุดที่ไม่ได้เป็นสมาชิกของตัวเอง

มีจำนวนมากของชุดที่คุณสามารถเลือกหรือแบ่งออกเป็นชุดที่อยู่ในตัวเองและผู้ที่ไม่ได้ดังกล่าว แต่เนื่องจากไม่มีชุดสากลเราจะไม่ผูกพันชุดทุกชุด โดยไม่ต้องสมมติว่าปัญหาความขัดแย้งชุดรัสเซลไม่สามารถพิสูจน์ได้

แก้ปัญหาอื่น ๆ

นอกจากนี้ยังมีได้รับส่วนขยายตามมาหรือการปรับเปลี่ยนของการแก้ปัญหาเหล่านี้เช่นทฤษฎีส้อมชนิดของ "หลักการคณิตศาสตร์" การขยายตัวของระบบ "ตรรกะทางคณิตศาสตร์" ควินเช่นเดียวกับการพัฒนามากขึ้นล่าสุดในทฤษฎีของชุดที่ทำ Bernays, Gödelและ von Neumann คำถามที่ว่าการตอบสนองต่อความขัดแย้งที่ไม่ละลายน้ำเบอร์ทรานด์รัสเซลล์พบยังคงเป็นเรื่องของการอภิปราย