พีชคณิตแบบบูล พีชคณิตของตรรกะ องค์ประกอบของตรรกะทางคณิตศาสตร์

ในโลกปัจจุบันที่เรากำลังมากขึ้นโดยใช้ความหลากหลายของเครื่องและอุปกรณ์ และไม่เพียง แต่เมื่อมันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะใช้ความแข็งแกร่งเหนือตัวอักษร: ย้ายโหลดเพื่อยกระดับมันสูงขุดร่องยาวและลึก ฯลฯ รถยนต์วันนี้เก็บหุ่นยนต์อาหารสุก multivarki และการคำนวณทางคณิตศาสตร์ประถมผลิตเครื่องคิดเลข ... มากขึ้นและบ่อยขึ้นเราได้ยินวลีที่ว่า "พีชคณิตแบบบูล" บางทีเวลาที่มีมาเพื่อทำความเข้าใจบทบาทของมนุษย์ในการสร้างหุ่นยนต์และเครื่องความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ไม่เพียง แต่ยัง ปัญหาตรรกะ

ตรรกะ

ในตรรกะกรีก - ระบบสั่งซื้อของความคิดที่จะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างเงื่อนไขที่กำหนดและช่วยให้คุณสามารถหาข้อสรุปจากสมมติฐานและประมาณการ บ่อยครั้งมากที่เราขอให้แต่ละอื่น ๆ : "มันเป็นตรรกะที่จะ" ตอบยืนยันสมมติฐานของเราหรือบารมีรถไฟของความคิด แต่กระบวนการไม่หยุดมี: เรายังคงพูดคุย

บางครั้งจำนวนของเงื่อนไข (input) เป็นที่ดีมากและความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขาจึงเป็นความสับสนและซับซ้อนที่สมองของมนุษย์จะไม่สามารถ "ย่อย" ทั้งหมดในครั้งเดียว คุณอาจจะต้องมากกว่าหนึ่งเดือน (สัปดาห์ปี) เพื่อความเข้าใจในสิ่งที่เกิดขึ้น แต่ชีวิตที่ทันสมัยไม่ให้เรามีช่วงเวลาเหล่านี้ในการตัดสินใจ และเราจะหันไปให้ความช่วยเหลือของคอมพิวเตอร์ และเป็นที่นี่ว่ามีพีชคณิตและตรรกะตามกฎหมายและคุณสมบัติของ หลังจากดาวน์โหลดข้อมูลทั้งหมดของเดิมที่เราอนุญาตให้คอมพิวเตอร์ที่จะยอมรับความสัมพันธ์ทั้งหมดเพื่อขจัดความขัดแย้งและการที่จะหาทางออกที่น่าพอใจ

คณิตศาสตร์และตรรกะ

ที่มีชื่อเสียงกอตฟริด Vilgelm Leybnits สูตรแนวคิดของ "ตรรกะทางคณิตศาสตร์" ซึ่งเป็นงานที่ง่ายต่อการเข้าใจเพียงวงกลมเล็ก ๆ ของนักวิชาการ น่าสนใจโดยเฉพาะทิศทางที่ไม่ก่อให้เกิดและช่วงกลางของศตวรรษที่สิบเก้าของตรรกะทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันโดยไม่กี่

ความสนใจที่ดีในชุมชนวิทยาศาสตร์ได้ก่อให้เกิดข้อพิพาทในการที่อังกฤษ Dzhordzh Bul ประกาศว่าเขาตั้งใจที่จะจัดตั้งสาขาของคณิตศาสตร์ไม่ได้มีอย่างไม่มีการใช้งานจริง ในฐานะที่เรารู้จากประวัติศาสตร์ในเวลานี้กระตือรือร้นในการพัฒนาอุตสาหกรรมการผลิตเราพัฒนาทุกชนิดของเครื่องช่วย t. อีค้นพบทางวิทยาศาสตร์ทั้งหมดมีการวางแนวทางการปฏิบัติ

มองไปข้างหน้าเราบอกว่าพีชคณิตแบบบูล - ที่ใช้มากที่สุดในโลกวันนี้เป็นส่วนหนึ่งของวิชาคณิตศาสตร์ ดังนั้นอาร์กิวเมนต์ Buhl ของคุณหายไป

Dzhordzh Bul

บุคลิกภาพของผู้เขียนที่สมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษ แม้จะได้รับความจริงที่ว่าในอดีตที่ผ่านมาคนที่เติบโตขึ้นมาก่อนเราก็ยังควรจะตั้งข้อสังเกตว่าในช่วง 16 ปีของจอห์น. Buhl สอนที่โรงเรียนหมู่บ้านและ 20 ปีเปิดโรงเรียนของตัวเองในลิงคอล์น นักคณิตศาสตร์ที่ดีที่สุดที่เข้าใจห้าภาษาต่างประเทศและในเวลาว่างของเขาได้อ่านผลงานของนิวตันและลากรองจ์ และทั้งหมดนี้ - บุตรชายคนงานธรรมดา!

ในปี 1839, Buhl ส่งเอกสารทางวิทยาศาสตร์ครั้งแรกของเขาในเคมบริดจ์วารสารคณิตศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์หันมา 24 ปี ทำงาน Boole เป็นสมาชิกที่สนใจเพื่อให้ของ Royal Society ใน 1844 เขาได้รับรางวัลสำหรับผลงานของเขาในการพัฒนาของ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เอกสารตีพิมพ์ไม่กี่แห่งในองค์ประกอบของตรรกะทางคณิตศาสตร์คณิตศาสตร์ได้รับอนุญาตให้หนุ่มสาวที่จะใช้เวลาโพสต์ของอาจารย์ในวิทยาลัยคอร์กเคาน์ตี้ได้อธิบายไว้ จำได้ว่าในการศึกษา Boole มากไม่ได้

ความคิด

ในหลักการพีชคณิตแบบบูลเป็นเรื่องง่ายมาก มี งบ (ตรรกะ การแสดงออก) ว่าจากมุมมองของคณิตศาสตร์ที่สามารถถูกกำหนดไว้ในคำสองคำ: "จริง" หรือ "เท็จ" ยกตัวอย่างเช่นต้นไม้ในฤดูใบไม้ผลิบาน - ความจริงในช่วงฤดูร้อนหิมะตก - โกหก ความงามของคณิตศาสตร์ก็คือว่ามันไม่ได้เป็นสิ่งที่จำเป็นอย่างเคร่งครัดเพื่อใช้ตัวเลขเท่านั้น สำหรับคำตัดสินของพีชคณิตค่อนข้างพอดีกับงบใด ๆ ที่มีความหมายที่ไม่ซ้ำกัน

ดังนั้นพีชคณิตของตรรกะที่สามารถใช้ตัวอักษรทุกที่: ในการจัดตารางเวลาและการเขียนคำแนะนำและการวิเคราะห์ข้อมูลที่ขัดแย้งกันเกี่ยวกับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นและความมุ่งมั่นของลำดับของการกระทำนั้น สิ่งที่สำคัญที่สุด - ที่จะรู้ว่ามันไม่สำคัญว่าวิธีการที่เราตรวจสอบความจริงหรือความผิดพลาดของงบ จากนี้ "วิธีการ" และ "ทำไม" คุณต้องการที่จะไม่สนใจ สิ่งที่สำคัญเป็นเพียงคำสั่งของความเป็นจริง: ความจริงเป็นเรื่องโกหก

ของหลักสูตรการเขียนโปรแกรมหน้าที่ที่สำคัญที่สุดของพีชคณิตของตรรกะที่ถูกบันทึกด้วยสัญญาณที่เหมาะสมและสัญลักษณ์ และเรียนรู้พวกเขา - มันหมายถึงการเรียนรู้ภาษาต่างประเทศใหม่ ไม่มีอะไรที่เป็นไปไม่ได้

แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ

โดยไม่ต้องลงลึกเราจัดการกับคำศัพท์ ดังนั้นพีชคณิตแบบบูลเห:

• งบ;
• การดำเนินงานเชิงตรรกะ
• ฟังก์ชั่นและกฎหมาย

งบ - การแสดงออกใด ๆ ยืนยันว่าสามารถตีความได้สองมูลค่า พวกเขาจะเขียนเป็นตัวเลข (5> 3) หรือสูตรคำที่คุ้นเคย (ช้าง - เลี้ยงลูกด้วยนมที่ใหญ่ที่สุด) ในกรณีนี้คำว่า "คอยีราฟไม่ได้" นอกจากนี้ยังมีสิทธิที่จะอยู่เพียงพีชคณิตแบบบูกำหนดเป็น "โกหก".

งบทั้งหมดควรจะชัดเจน แต่พวกเขาอาจจะเป็นพื้นฐานหรือสารประกอบ ใช้งานล่าสุดกำตรรกะ อีสารงบพีชคณิตคำตัดสินที่เกิดขึ้นจากการดำเนินงานที่นอกเหนือจากตรรกะประถมศึกษา

การดำเนินงานพีชคณิตแบบบูล

แล้วเราจำไว้ว่าการดำเนินงานในพีชคณิตของคำตัดสินที่ - ตรรกะ เช่นเดียวกับพีชคณิตของตัวเลขที่ใช้ดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่จะเพิ่มลบหรือเปรียบเทียบตัวเลของค์ประกอบตรรกะทางคณิตศาสตร์อนุญาตให้มีการทำให้งบที่ซับซ้อนที่จะปฏิเสธหรือการคำนวณผลสุดท้าย

การดำเนินงานของลอจิกสำหรับ formalization และความเรียบง่ายแสดงโดยสูตรคุ้นเคยกับเราในการคำนวณ คุณสมบัติของสมการพีชคณิตแบบบูลทำให้มันเป็นไปได้ในการบันทึกและคำนวณที่ไม่รู้จัก ตรรกะการดำเนินงาน มักจะถูกบันทึกไว้โดยตารางความจริง องค์ประกอบของการกำหนดคอลัมน์และการดำเนินงานคอมพิวเตอร์ซึ่งจะดำเนินการกับพวกเขาและแถวแสดงผลของการคำนวณ

ตรรกะพื้นฐานของการดำเนินการ

ที่พบมากที่สุดในการดำเนินงานพีชคณิตแบบบูลมีการปฏิเสธ (ไม่) และตรรกะ AND และ OR ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะอธิบายในทางปฏิบัติทุกขั้นตอนในการตัดสินพีชคณิต เราศึกษาในรายละเอียดแต่ละแห่งที่สามการดำเนินงาน

ปฏิเสธ (ไม่) ถูกนำไปใช้เพียงองค์ประกอบหนึ่ง (ถูกดำเนินการ) ดังนั้นการดำเนินการที่เรียกว่าปฏิเสธเอก การบันทึกแนวคิดของ "ไม่ได้" โดยใช้สัญลักษณ์ดังกล่าว: ฌเฐ, หรือ !. ในรูปแบบตารางจะมีลักษณะเช่นนี้

ฟังก์ชั่นของการปฏิเสธโดยทั่วไปของคำสั่งดังกล่าว: ถ้าเป็นจริงแล้วเอ - เป็นเท็จ ยกตัวอย่างเช่นดวงจันทร์หมุนรอบโลก - ความจริง โลกหมุนรอบดวงจันทร์ - โกหก

คูณตรรกะและนอกจากนี้

ตรรกะและการดำเนินงานที่เรียกว่าร่วม มันหมายความว่าอะไร? ประการแรกที่จะสามารถนำไปใช้กับทั้งสองตัวถูกดำเนินการเช่น I - .. การดำเนินการทวิภาค ประการที่สองก็คือเฉพาะในกรณีของความจริงของทั้งสองตัวถูกดำเนินการ (ทั้ง A และ B) ที่เป็นความจริงและการแสดงออกของตัวเอง สุภาษิต, "ความอดทนและความพยายามน้อย" หมายความว่าเพียงสองปัจจัยที่สามารถช่วยให้คนรับมือกับความยากลำบาก

สัญลักษณ์ที่ใช้สำหรับบันทึก: A∧B, A⋅Bหรือ A && บี

ร่วมจะคล้ายกับการคูณในการคำนวณ บางครั้งและบอกว่า - คูณตรรกะ หากคุณคูณองค์ประกอบของแถวของตารางที่เราได้รับผลคล้ายกับการคิดเชิงตรรกะ

ร้าวฉานเป็นตรรกะหรือการดำเนินงาน มันเป็นความจริงถ้าอย่างน้อยหนึ่งของงบเป็นจริง (A หรือ B) มันเขียนไว้เช่นนี้A∨B, A + B หรือ A || บี ตารางความจริงสำหรับการดำเนินการเหล่านี้คือ:

ร้าวฉานนอกจากคณิตศาสตร์ที่คล้ายกัน การดำเนินงานนอกจากนี้ตรรกะมีเพียงหนึ่งข้อ จำกัด : 1 + 1 = 1 แต่เราจำได้ว่าในรูปแบบดิจิตอลจะถูก จำกัด ตรรกะทางคณิตศาสตร์ 0 และ 1 (ที่ 1 - ความจริง 0 - เท็จ) ยกตัวอย่างเช่นคำสั่ง "ในพิพิธภัณฑ์ที่คุณสามารถดูผลงานชิ้นเอกหรือหา บริษัท ที่ดี" หมายถึงสิ่งที่คุณสามารถดูผลงานศิลปะและมันก็เป็นไปได้ที่จะตอบสนองความต้องการบุคคลที่น่าสนใจ ในเวลาเดียวกันไม่ได้ออกกฎความเป็นไปได้ของการปฏิบัติตามพร้อมกันของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นทั้งใน

ฟังก์ชั่นและกฎหมาย

ดังนั้นเรารู้อยู่แล้วว่าสิ่งที่ดำเนินการโดยใช้ตรรกะพีชคณิตแบบบูล ฟังก์ชั่นอธิบายคุณสมบัติขององค์ประกอบของตรรกะทางคณิตศาสตร์และช่วยให้เราสามารถลดความซับซ้อนของงบสารประกอบที่ซับซ้อน ชัดเจนที่สุดและง่ายดูเหมือนว่าคุณสมบัติการปฏิเสธของการดำเนินการซื้อขายสัญญาซื้อขายล่วงหน้า โดยสัญญาซื้อขายล่วงหน้าที่มีความเข้าใจแฮคเกอร์, ความหมายและความเท่าเทียมกัน ในฐานะที่เราได้อ่านเท่านั้นที่มีการดำเนินงานพื้นฐานแล้วทรัพย์สินที่ยังเป็นเพียงพิจารณาพวกเขา

associativity หมายความว่าในงบดังกล่าวว่า "ทั้ง A และ B และ B 'รายชื่อลำดับของตัวถูกดำเนินการที่ไม่สำคัญ สูตรถูกเขียนดังนี้

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V

ที่คุณสามารถดูนี้ไม่ซ้ำกันเพื่อร่วม แต่ความร้าวฉาน

commutativity ระบุว่าผลจากการร่วมหรือหย่าไม่ได้ขึ้นอยู่กับรายการที่ได้รับการพิจารณาในตอนแรก:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A

distributivity อนุญาตให้เปิดเผยวงเล็บในนิพจน์ตรรกะที่ซับซ้อน กฎระเบียบที่มีความคล้ายคลึงกับวงเล็บเปิดในคูณและนอกจากนี้ในพีชคณิต:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V)

คุณสมบัติหน่วยและรอยขีดข่วนซึ่งสามารถเป็นหนึ่งในตัวถูกดำเนินการนอกจากนี้ยังมีความคล้ายคลึงกับการคูณพีชคณิตโดยศูนย์หรือหนึ่งและนอกเหนือจากหน่วย:

A∧0 = 0 A∧1 = a; A∨0 = A, A∨1 = 1

Idempotency บอกเราว่าถ้าสองตัวถูกดำเนินการค่อนข้างเท่ากับผลการดำเนินงานที่เป็นแบบเดียวกันคุณสามารถ "โยน" การถูกดำเนินการให้เหตุผลที่ซับซ้อนเกิน และร่วมและความร้าวฉานการดำเนินงานจะ idempotent

B∧B = B; B∨B = บี

การเข้าซื้อกิจการยังช่วยให้เราลดความซับซ้อนของสมการ การดูดซึมระบุว่าเมื่อการแสดงออกถูกนำไปใช้อย่างใดอย่างหนึ่งถูกดำเนินการดำเนินการอื่นที่มีองค์ประกอบเดียวกันของตัวถูกดำเนินการผลที่ได้คือการดำเนินการดูดซับ

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = บี

ลำดับของการดำเนินงาน

ลำดับของการดำเนินงานมีความสำคัญมาก ที่จริงเป็นสำหรับพีชคณิตมีฟังก์ชั่นมีความสำคัญที่ใช้พีชคณิตแบบบูล สูตรได้ง่ายเพียงเรื่องที่สำคัญของการดำเนินงาน การจัดอันดับที่สำคัญที่สุดที่จะเล็กน้อยเราได้รับลำดับต่อไปนี้:

1. การปฏิเสธ

2. ร่วม

3. ร้าวฉาน, แฮคเกอร์

4. ความหมาย, ความเท่าเทียม

ที่คุณสามารถดูเพียงปฏิเสธร่วมและไม่ได้มีความสำคัญเท่าเทียมกัน ลำดับความสำคัญของความร้าวฉานและแฮคเกอร์มีค่าเท่ากันเช่นเดียวกับการจัดลำดับความสำคัญของความหมายและความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชั่นของความหมายและความเท่าเทียมกัน

ในฐานะที่เราได้กล่าวว่านอกเหนือไปจากการดำเนินงานเชิงตรรกะพื้นฐานตรรกะทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีของอัลกอริทึมโดยใช้สัญญาซื้อขายล่วงหน้า มันเป็นส่วนใหญ่มักจะมีความหมายและความเท่าเทียมกัน

ความหมายหรือเหตุผล - คำสั่งนี้ซึ่งในการดำเนินการอย่างใดอย่างหนึ่งเป็นเงื่อนไขและอื่น ๆ - ผลของการดำเนินงานของ ในคำอื่น ๆ ข้อเสนอนี้กับข้ออ้างของ "ถ้า ... แล้ว" "หลังจากรับประทานอาหารเย็นมาคำนวณ." อีสำหรับการขับรถจะต้องรัดกุมอยู่บนเนินเขาเลื่อน หากมีความปรารถนาที่จะย้ายลงมาจากภูเขาแล้วลากเลื่อนไม่มีไม่จำเป็น ถูกเขียนโดย: เป็น→ B หรือA⇒B

ความเท่าเทียมกันหมายความว่าผลสุทธิเกิดขึ้นเฉพาะเมื่อทั้งสองตัวถูกดำเนินการนี้เป็นจริง ยกตัวอย่างเช่นคืนให้วิธีการในวันนั้น (และเพียงแล้ว) เมื่อดวงอาทิตย์ขึ้นเหนือขอบฟ้า ในภาษาของตรรกะทางคณิตศาสตร์ของคำสั่งนี้จะถูกเขียนเป็นA≡B, A⇔B, A == บี

กฎหมายอื่น ๆ ของพีชคณิตแบบบูล

พีชคณิตตัดสินพัฒนาและนักวิทยาศาสตร์ให้ความสนใจจำนวนมากในการกำหนดกฎหมายใหม่ ที่มีชื่อเสียงที่สุดได้รับการพิจารณาสมมุติฐานคณิตศาสตร์กอตติชโอเดมอร์แกน เขาสังเกตเห็นและให้ความหมายของคุณสมบัติเช่นการปฏิเสธอย่างใกล้ชิดนอกจากนี้และลบคู่

ปิดการปฏิเสธแสดงให้เห็นว่าก่อนที่จะวงเล็บคือปฏิเสธไม่ได้: ไม่ได้ (A หรือ B) = ไม่ได้ A หรือบีไม่

เมื่อถูกดำเนินการถูกปฏิเสธโดยไม่คำนึงถึงความคุ้มค่าคุ้มพูดเกี่ยวกับการเพิ่ม:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1

และในที่สุดคู่ปฏิเสธตัวเองชดเชย กล่าวคือ ก่อนที่จะถูกดำเนินการอย่างใดอย่างหนึ่งปฏิเสธหายไปหรือยังคงอยู่เพียงคนเดียว

วิธีการแก้ปัญหาการทดสอบ

ลอจิกแสดงถึงความเรียบง่ายสมการที่กำหนดไว้ เช่นเดียวกับในพีชคณิตนั้นมันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะอำนวยความสะดวกในที่สุดเงื่อนไขแรก (ในการกำจัดของการดำเนินงานการป้อนข้อมูลที่มีความซับซ้อนและกับพวกเขา) แล้วเริ่มมองหาคำตอบที่ถูกต้อง

สิ่งที่ต้องทำเพื่อให้ง่าย? แปลงสัญญาซื้อขายล่วงหน้าทั้งหมดในการดำเนินงานที่เรียบง่าย แล้วค้นพบวงเล็บทั้งหมด (หรือในทางกลับกันจะทำให้วงเล็บเพื่อลดองค์ประกอบนี้) ขั้นตอนต่อไปควรจะใช้งานคุณสมบัติพีชคณิตแบบบูลในการปฏิบัติ (คุณสมบัติการดูดซึมศูนย์และหนึ่งและ t.)

ในท้ายที่สุดสมควรประกอบด้วยจำนวนขั้นต่ำของราชวงศ์รวมกับการดำเนินงานที่เรียบง่าย วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะมองหาวิธีการแก้ปัญหาถ้าคุณทำจำนวนมากของเนกาทีฟใกล้ แล้วคำตอบจะปรากฏขึ้นเช่นถ้าโดยตัวของมันเอง