Riemann สมมุติฐาน การแพร่กระจายของตัวเลขที่สำคัญ

ในปี 1900 ซึ่งเป็นหนึ่งในนักวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของศตวรรษที่ผ่านมา เดวิดฮิลเบิร์ต ทำรายการที่ประกอบด้วย 23 แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ ทำงานกับพวกเขาได้มีผลกระทบอย่างมากต่อการพัฒนาของเขตของความรู้ของมนุษย์นี้ หลังจากนั้นประมาณ 100 ปีในสถาบันคณิตศาสตร์ดินนำเสนอรายชื่อของเจ็ดปัญหาที่เรียกว่าวัตถุประสงค์มิลเลนเนียม สำหรับการตัดสินใจของแต่ละของพวกเขาได้รับการเสนอรางวัล $ 1 ล้าน

ปัญหาเดียวซึ่งเป็นหนึ่งในสองรายการของปริศนามานานหลายศตวรรษไม่ให้ส่วนที่เหลือที่นักวิทยาศาสตร์กลายเป็นสมมติฐาน Riemann เธอยังคงรอการตัดสินใจของเขา

ข้อมูลเกี่ยวกับชีวประวัติโดยย่อ

จอร์จฟรีดริชเบิร์นฮาร์ดรีอแมนเกิดในปี 1826 ในฮันโนเวอร์ในครอบครัวใหญ่ของบาทหลวงยากจนและอาศัยอยู่ที่อายุเพียง 39 ปี เขาพยายามที่จะเผยแพร่เอกสาร 10 อย่างไรก็ตามในช่วงชีวิตของ Riemann ที่เขาถือว่าเป็นทายาทของครูของเขาโยฮันน์กอส์ 25 ปีที่ผ่านมานักวิทยาศาสตร์หนุ่มสาวได้รับการปกป้องวิทยานิพนธ์ของเขา "ฐานรากของทฤษฎีของฟังก์ชันของตัวแปรที่ซับซ้อน." หลังจากนั้นเขาก็สูตรสมมติฐานของเขาซึ่งเป็นที่มีชื่อเสียง

ช่วงเวลา

คณิตศาสตร์มาเมื่อคนเรียนรู้ที่จะนับ แล้วความคิดที่เกิดขึ้นเป็นครั้งแรกของตัวเลขซึ่งต่อมาได้พยายามที่จะจัด มันได้รับการตั้งข้อสังเกตว่าบางส่วนของพวกเขามีคุณสมบัติทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งในหมู่จำนวนธรรมชาติม. อีผู้ซึ่งถูกนำมาใช้ในการคำนวณ (ตัวเลข) หรือจำนวนที่กำหนดของรายการที่ได้รับการจัดสรรกลุ่มดังกล่าวซึ่งจะแบ่งออกโดยหนึ่งและตัวเองเพียง พวกเขาถูกเรียกง่ายๆ หลักฐานที่สง่างามของทฤษฎีบทชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดของตัวเลขที่กำหนดโดย Euclid ใน "องค์ประกอบ" ของเขา ในขณะที่เรามีอย่างต่อเนื่องค้นหาของพวกเขา โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ใหญ่ที่สุดของจำนวนที่รู้จักกัน ² 74207281 - 1

สูตรออยเลอร์

พร้อมกับความคิดของจำนวนเฉพาะเพียบ Euclid กำหนดและทฤษฎีบทที่สองเพียงตัวประกอบที่เป็นไปได้ ตามที่มันจำนวนเต็มบวกใด ๆ ที่เป็นสินค้าเพียงหนึ่งชุดของจำนวนเฉพาะ ใน 1737 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่ดีเลินฮาร์ดออูเลอร์แสดงแรกของทฤษฎีบทของ Euclid ในอินฟินิตี้ของสูตรที่แสดงด้านล่าง

มันถูกเรียกว่าฟังก์ชั่นซีตาที่ s - คง p และเป็นค่าที่เรียบง่ายทั้งหมด จากนั้นตามมาโดยตรงและโดยความเห็นชอบของเอกลักษณ์ของการขยายตัวของ Euclid ที่

ฟังก์ชั่นซีตา Riemann

สูตรออยเลอร์ในการตรวจสอบอย่างใกล้ชิดเป็นที่น่าทึ่งมากที่กำหนดโดยอัตราส่วนระหว่างที่เรียบง่ายและจำนวนเต็ม หลังจากที่ทั้งหมดในด้านซ้ายของเธอจะถูกคูณแสดงออกหลายอย่างมากมายที่ขึ้นอยู่เฉพาะในที่เรียบง่ายและในปริมาณที่เหมาะสมมีความเกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด

Riemann ไปในออยเลอร์ เพื่อที่จะหากุญแจสำคัญในการแก้ไขปัญหาของการกระจายของตัวเลขที่จะเสนอให้กำหนดสูตรสำหรับทั้งสองตัวแปรจริงและมีความซับซ้อน ก็คือเธอที่ต่อมากลายเป็นที่รู้จักในฐานะฟังก์ชันซีตา Riemann ในปี 1859 นักวิทยาศาสตร์การตีพิมพ์บทความเรื่อง "อยู่กับจำนวนของจำนวนเฉพาะที่ไม่เกินค่าที่กำหนดไว้" ซึ่งสรุปความคิดของพวกเขาทั้งหมด

Riemann เสนอการใช้จำนวนของออยเลอร์, มาบรรจบกันสำหรับทุกจริง> 1 ถ้าสูตรเดียวกันใช้สำหรับ s ซับซ้อนแล้วชุดจะมาบรรจบกันสำหรับค่าของตัวแปรที่มีส่วนจริงใด ๆ ที่เป็นมากกว่า 1 Riemann ใช้วิเคราะห์สืบเนื่องของขั้นตอนโดยการขยายความหมายของซีตา (s) สำหรับตัวเลขที่ซับซ้อน แต่ "โยน" หน่วย มันเป็นไปไม่ได้เพราะถ้า s = 1 ฟังก์ชั่นซีตาเพิ่มขึ้นไปไม่มีที่สิ้นสุด

รู้สึกในทางปฏิบัติ

คำถามที่เกิดขึ้นสิ่งที่เป็นฟังก์ชั่นซีตาที่น่าสนใจและมีความสำคัญซึ่งเป็นสิ่งสำคัญในการทำงานของ Riemann บนสมมติฐานหรือไม่ ที่คุณรู้ว่าในขณะนี้ไม่พบรูปแบบที่เรียบง่ายที่จะอธิบายถึงการกระจายของตัวเลขที่สำคัญท่ามกลางธรรมชาติ Riemann สามารถตรวจพบว่าจำนวนของปี่ (x) ของตัวเลขที่สำคัญที่ไม่ได้ดีกว่า x จะแสดงออกโดยการกระจายของขับเคลื่อนการทำงานของศูนย์ซีตา นอกจากนี้สมมติฐาน Riemann เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นเพื่อพิสูจน์การประเมินผลชั่วคราวของอัลกอริทึมการเข้ารหัสลับบางอย่าง

สมมติฐาน Riemann

หนึ่งในสูตรแรกของปัญหาทางคณิตศาสตร์นี้ไม่ได้พิสูจน์ไปในวันนี้คือฟังก์ชั่นที่น่ารำคาญ 0 ซีตา - หมายเลขที่ซับซ้อนที่มีส่วนจริงเท่ากับ½ ในคำอื่น ๆ พวกเขาจะจัดบนเส้นตรงเรื่อง s = ½

นอกจากนี้ยังมีทั่วไป Riemann สมมติฐานซึ่งเป็นคำสั่งเดียวกัน แต่สำหรับลักษณะทั่วไปของซีตาฟังก์ชั่นซึ่งจะเรียกว่า Dirichlet (ดู. ภาพด้านล่าง) L-ฟังก์ชั่น

ในχสูตร (N) - เป็นตัวละครที่เป็นตัวเลข (สมัย k)

คำสั่งของ Riemann คือสิ่งที่เรียกว่าสมมติฐานตามที่ได้รับการตรวจสอบสำหรับความสอดคล้องกับข้อมูลตัวอย่างที่มีอยู่

ขณะที่ผมเป็นที่ถกเถียงกัน Riemann

หมายเหตุนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันเป็นสูตรเดิมค่อนข้างลวก ความจริงก็คือว่าในช่วงเวลาที่นักวิทยาศาสตร์กำลังจะพิสูจน์ทฤษฎีบทในการกระจายตัวของตัวเลขที่สำคัญและในบริบทนี้สมมติฐานนี้ไม่ได้มีผลมาก อย่างไรก็ตามบทบาทของตัวเองในการแก้ไขปัญหาอื่น ๆ อีกมากมายเป็นอย่างมาก นั่นคือเหตุผลที่สมมติฐาน Riemann สำหรับนักวิทยาศาสตร์ตอนนี้หลายตระหนักถึงความสำคัญของปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่มา

ในฐานะที่ได้รับการกล่าวเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการกระจายของเต็ม Riemann สมมติฐานที่ไม่จำเป็นและค่อนข้างมีเหตุผลพิสูจน์ได้ว่าเป็นส่วนหนึ่งที่แท้จริงของการใด ๆ ที่ไม่น่ารำคาญศูนย์ของฟังก์ชันซีตาอยู่ระหว่าง 0 และ 1 สถานที่ให้บริการนี้มีความหมายว่าผลรวมของทั้งหมด 0 เมตร ฟังก์ชั่นซีตาที่ปรากฏในสูตรที่แน่นอนข้างต้น - คง จำกัด สำหรับค่ามากของ x ก็สามารถทั้งหมดจะหายไป สมาชิกคนเดียวของสูตรซึ่งจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลงแม้ที่ x สูงมาก x เป็นตัวเอง ส่วนที่เหลือของข้อกำหนดที่ซับซ้อนในการเปรียบเทียบกับมัน asymptotically หายไป ดังนั้นน้ำหนักรวมมีแนวโน้มที่จะ x ความจริงเรื่องนี้ถือได้ว่าเป็นหลักฐานของความจริงของทฤษฎีบทจำนวนสำคัญ ดังนั้นศูนย์การทำงานของ Riemann ซีตาปรากฏบทบาทพิเศษ มันคือการพิสูจน์ว่าค่าเหล่านี้ไม่สามารถมีส่วนสำคัญต่อการขยายตัวสูตร

ติดตาม Riemann

ตายอนาถจากวัณโรคป้องกันไม่ให้นักวิทยาศาสตร์นำไปที่ปลายตรรกะของโปรแกรม แต่เขาเอากระบองจาก W-F de la Vallée Poussin และจัคออดามาร์ เป็นอิสระจากกันพวกเขาต้องถอนตัวออกทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ Hadamard และ Poussin การจัดการที่จะพิสูจน์ให้เห็นว่าทุกฟังก์ชั่น 0 ขี้ปะติ๋วซีตาตั้งอยู่ภายในวงที่สำคัญ

ขอขอบคุณในการทำงานของนักวิทยาศาสตร์เหล่านี้สาขาใหม่ของคณิตศาสตร์ - ทฤษฎีการวิเคราะห์ของตัวเลข ต่อมานักวิจัยอื่น ๆ ได้รับเพียงเล็กน้อยหลักฐานดั้งเดิมของทฤษฎีบทกำลังทำงานอยู่ในกรุงโรม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Pal แอร์ดิชและเอเติลเซลเบิร์กได้เปิดแม้ยืนยันห่วงโซ่ที่ซับซ้อนสูงของตรรกะไม่จำเป็นต้องใช้ในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตามในประเด็นนี้ความคิดของ Riemann โดยทฤษฎีบทที่สำคัญหลายประการที่ได้รับการพิสูจน์แล้วรวมทั้งประมาณการของฟังก์ชั่นหลายทฤษฎีจำนวน ในการเชื่อมต่อกับการทำงานใหม่นี้แอร์ดิชและเอเติลเซลเบิร์กอะไรจริงไม่ได้รับผลกระทบ

หนึ่งในหลักฐานที่ง่ายที่สุดและสวยที่สุดของปัญหาได้รับการค้นพบในปี 1980 โดยโดนัลด์นิวแมน มันอยู่บนพื้นฐานที่รู้จักกันดีทฤษฎีบท Cauchy

ขู่ถ้าสมมติฐาน Riemann เป็นพื้นฐานของการเข้ารหัสที่ทันสมัย

การเข้ารหัสข้อมูลโผล่ออกมาด้วยการปรากฏตัวของตัวละครหรือมากกว่าพวกเขาเองอาจจะถือได้ว่าเป็นรหัสแรก ในขณะที่มีแนวโน้มใหม่ของการเข้ารหัสดิจิตอลซึ่งมีส่วนร่วมในการพัฒนาวิธีการเข้ารหัสลับ

ที่เรียบง่ายและ "semisimple" จำนวนม. อีผู้ซึ่งจะแบ่งออกเป็นสองเพียงตัวเลขอื่น ๆ ของชั้นเรียนเดียวกันเป็นพื้นฐานของระบบกุญแจสาธารณะหรือที่เรียกว่าอาร์เอส แต่ก็มีการประยุกต์กว้าง โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่จะใช้ในการสร้างลายมือชื่ออิเล็กทรอนิกส์ ถ้าเราพูดคุยในแง่ของการที่มี "กาน้ำชา" สมมติฐาน Riemann ยืนยันการดำรงอยู่ของระบบในการกระจายของตัวเลขที่สำคัญ ดังนั้นจึงลดลงอย่างมีนัยสำคัญความต้านทานของคีย์การเข้ารหัสลับซึ่งขึ้นอยู่กับความปลอดภัยของการทำธุรกรรมออนไลน์ใน E-commerce

ปัญหาทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ยังไม่แก้

บทความที่สมบูรณ์แบบเป็นมูลค่าพลีคำไม่กี่คำกับงานอื่น ๆ ของสหัสวรรษ เหล่านี้รวมถึง:

• ความเท่าเทียมกันของการเรียน P และ NP ปัญหาที่เกิดขึ้นเป็นสูตรดังนี้ถ้าคำตอบในเชิงบวกต่อคำถามที่ได้รับการยืนยันในเวลาพหุนามแล้วมันเป็นความจริงว่าตัวเขาเองคำตอบสำหรับคำถามนี้สามารถพบได้อย่างรวดเร็ว?
• ฮ็อดจ์คาดเดา ในแง่ง่ายๆก็อาจกล่าวได้ดังนี้สำหรับบางประเภท manifolds พีชคณิต projective (ช่องว่าง) รอบฮ็อดจ์มีการรวมกันของวัตถุที่มีการตีความทางเรขาคณิตพีชคณิตรอบคือ ...
• Poincaréคาดเดา มันเป็นเรื่องที่พิสูจน์เฉพาะที่ปัญหาขณะสหัสวรรษ ตามการใด ๆ วัตถุสามมิติที่มีคุณสมบัติเฉพาะของทรงกลม 3 มิติทรงกลมจะต้องถูกต้องต่อการเปลี่ยนรูป
• ความเห็นชอบของควอนตัมยาง - ทฤษฎี Mills เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่าทฤษฎีควอนตัมประกวดราคาโดยนักวิทยาศาสตร์เหล่านี้ไปยังพื้นที่ R ⁴ มีข้อบกพร่อง 0 มวลสำหรับการสอบเทียบง่าย ๆ ของกลุ่มที่มีขนาดกะทัดรัดกรัม
• สมมติฐานของเบิร์ช - Swinnerton- คนย้อม ปัญหานี้เป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการเข้ารหัสอื่น มันเกี่ยวข้องกับเส้นโค้งรูปไข่
• ปัญหาของการดำรงอยู่และความเรียบเนียนของการแก้ปัญหาของเนเวียร์ - การ Stokes สม

ตอนนี้คุณรู้สมมติฐาน Riemann ในแง่ง่ายเรามีสูตรและบางส่วนของวัตถุประสงค์อื่น ๆ ของสหัสวรรษ ความจริงที่ว่าพวกเขาจะได้รับการแก้ไขหรือจนกว่าจะได้พิสูจน์ให้เห็นว่าพวกเขามีวิธีการแก้ปัญหาไม่ - มันเป็นเรื่องของเวลา และนี่คือไม่น่าจะต้องรอนานเกินไปเป็นคณิตศาสตร์ที่มีมากขึ้นโดยใช้กำลังการคำนวณของคอมพิวเตอร์ แต่ทุกอย่างไม่เป็นเรื่องศิลปะและการแก้ปัญหาทางวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ต้องใช้สัญชาตญาณและความคิดสร้างสรรค์