ชุดฟูริเยร์: ประวัติศาสตร์และอิทธิพลของกลไกทางคณิตศาสตร์เพื่อการพัฒนาวิทยาศาสตร์

ชุดฟูริเยร์ - มุมมองนี้ได้รับการแต่งตั้งโดยพลฟังก์ชั่นกับช่วงเวลาในแถว ในแง่ทั่วไปวิธีนี้เรียกว่าองค์ประกอบการขยายตัวบนพื้นฐานมุมฉาก การขยายตัวของฟังก์ชั่นในชุดฟูริเยค่อนข้างเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาต่าง ๆ เนื่องจากคุณสมบัติของการเปลี่ยนแปลงในการบูรณาการความแตกต่างเช่นเดียวกับการเปลี่ยนแปลงในการแสดงออกและการโต้แย้งบิด

คนที่ไม่คุ้นเคยกับคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นเช่นเดียวกับผลงานของนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสฟูริเยร์ส่วนใหญ่มีแนวโน้มที่จะไม่เข้าใจสิ่งที่ "อันดับ" และสิ่งที่พวกเขาทำ แต่การเปลี่ยนแปลงครั้งนี้ค่อนข้างแน่นเข้าไปในชีวิตของเรา มันจะใช้ไม่เพียง แต่คณิตศาสตร์ แต่ยังฟิสิกส์, เคมี, แพทย์, นักดาราศาสตร์ seismologists, สมุทรศาสตร์และอื่น ๆ ขอให้เรายังใช้เวลาดูใกล้ชิดกับผลงานของนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่ดีที่ทำให้การค้นพบที่ข้างหน้าของเวลาของเขา

ชายและฟูเรียร์

ชุดฟูริเยร์เป็นหนึ่งในวิธีการ (พร้อมกับการวิเคราะห์และอื่น ๆ ) ของฟูเรียร์ กระบวนการนี้จะเกิดขึ้นทุกครั้งที่มีคนได้ยินเสียงใด ๆ หูของเราจะแปลง คลื่นเสียง การเคลื่อนไหวแกว่งของอนุภาคมูลฐานในสื่อยืดหยุ่นมีการขยายตัวในซีรีส์ (สเปกตรัม) ค่าปริมาณต่อเนื่องสำหรับโทนสีที่แตกต่างกันของความสูง ถัดไปสมองแปลงข้อมูลนี้ในเสียงที่คุ้นเคยสำหรับเรา ทั้งหมดนี้คือนอกจากจะปรารถนาหรือจิตสำนึกของตัวเองของเรา แต่เพื่อให้เข้าใจกระบวนการที่ใช้เวลาหลายปีในการเรียนคณิตศาสตร์สูงขึ้น

อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับฟูเรียร์

แปลงฟูริเยร์สามารถดำเนินการวิเคราะห์ตัวเลขและวิธีการอื่น ๆ ชุดฟูริเยร์เป็นกระบวนการย่อยสลายตัวเลขสำหรับกระบวนการแกว่งใด ๆ - จากกระแสน้ำในมหาสมุทรและคลื่นแสงรอบแสงอาทิตย์ (และวัตถุทางดาราศาสตร์อื่น ๆ ) กิจกรรม โดยใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ก็เป็นไปได้ที่จะถอดแยกชิ้นส่วนฟังก์ชั่นเป็นตัวแทนของกระบวนการแกว่งใด ๆ ในจำนวนขององค์ประกอบซายน์ที่ไปจากต่ำไปในทางกลับกันสูงสุดและรอง ฟูริเยร์เปลี่ยนเป็นฟังก์ชั่นการอธิบายขั้นตอนและความกว้างของไซน์สอดคล้องกับความถี่โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กระบวนการนี้สามารถนำมาใช้สำหรับการแก้สมการที่ซับซ้อนมากที่อธิบายกระบวนการแบบไดนามิกที่เกิดขึ้นภายใต้การกระทำของความร้อนแสงหรือพลังงานไฟฟ้า นอกจากนี้ชุดฟูริเยร์ใช้เพื่อแยกส่วนประกอบ DC ในรูปคลื่นที่ซับซ้อนทำให้มันเป็นไปได้ที่จะถูกต้องตีความการสังเกตการทดลองในยาเคมีและดาราศาสตร์

ข้อมูลทางประวัติศาสตร์

บิดาผู้ก่อตั้งของทฤษฎีนี้เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสจานบาติสต์โจโืเซฟฟวร์ ชื่อของเขาในภายหลังและการเปลี่ยนแปลงครั้งนี้ได้รับการเรียก ตอนแรกนักวิทยาศาสตร์ที่ใช้เทคนิคในการศึกษาและอธิบายกลไกของการนำความร้อน - การขยายพันธุ์ความร้อนในของแข็ง ฟูริเยร์ชี้ให้เห็นว่าการกระจายที่ผิดปกติเริ่มต้นของคลื่นความร้อนที่สามารถย่อยสลายเป็น sinusoid ง่ายซึ่งแต่ละคนจะมีอุณหภูมิต่ำสุดและสูงสุดเช่นเดียวกับขั้นตอนของมัน ดังนั้นแต่ละองค์ประกอบดังกล่าวจะวัดจากต่ำไปในทางกลับกันสูงสุดและรอง ฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายถึงยอดบนและล่างของเส้นโค้งเช่นเดียวกับขั้นตอนของแต่ละฮาร์โมนิที่เรียกว่าฟูเรียร์ของการกระจายอุณหภูมิในการแสดงออก ผู้เขียนของทฤษฎีของฟังก์ชันการกระจายโดยรวมที่ลดลงว่าเป็นเรื่องยากที่จะอธิบายทางคณิตศาสตร์ในเรื่องง่ายที่จะจัดการกับจำนวน ของการทำงานระยะของ ไซน์และโคไซน์ในจำนวนของการให้การกระจายเริ่มต้น

หลักการของการแปลงและวิวของโคตร

โคตรของนักวิทยาศาสตร์ - นักคณิตศาสตร์ชั้นนำในช่วงต้นศตวรรษที่สิบเก้า - ไม่ยอมรับทฤษฎีนี้ คัดค้านหลักคือการอนุมัติของฟูริเยร์ที่ฟังก์ชั่นต่อเนื่องอธิบายเป็นเส้นตรงหรือเส้นโค้งถูกฉีกขาดก็สามารถแสดงเป็นผลรวมของการแสดงออกซายน์ที่มีอย่างต่อเนื่อง เป็นตัวอย่างให้พิจารณา "ขั้นตอน" เฮเวอร์: ความคุ้มค่าเป็นศูนย์ทางด้านซ้ายของช่องว่างและเป็นหนึ่งทางด้านขวา ฟังก์ชั่นนี้จะอธิบายถึงการพึ่งพาอาศัยกันของกระแสไฟฟ้าในตัวแปรเวลาสำหรับห่วงโซ่ปิดที่ ทฤษฎีร่วมสมัยในเวลานั้นไม่เคยพบสถานการณ์ดังกล่าวเมื่อมีการแสดงออกต่อเนื่องจะได้รับการอธิบายโดยการรวมกันของอย่างต่อเนื่องการทำงานร่วมกันเช่นชี้แจงไซน์เส้นหรือกำลังสอง

สิ่งที่ใส่ใจนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในทฤษฎีของฟูริเยร์ได้หรือไม่

หลังจากทั้งหมดถ้าเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ถูกต้องที่จะเถียงแล้วข้อสรุปอนันต์ชุดฟูริเยตรีโกณมิติก็เป็นไปได้ที่จะได้รับเป็นตัวแทนที่ถูกต้องของขั้นตอนของการแสดงออกถึงแม้ว่ามันจะมีชุดของขั้นตอนที่คล้ายกัน ในช่วงต้นศตวรรษที่สิบเก้าคำสั่งนี้ดูเหมือนไร้สาระ แต่แม้จะมีข้อสงสัยทั้งหมด mathematicians มากได้ขยายขอบเขตของการศึกษาของปรากฏการณ์นี้ย้ายมันเกินการศึกษาการนำความร้อน อย่างไรก็ตามนักวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ยังคงประสบคำถาม: "Can รวมของชุดคลื่นไซน์ลู่กับมูลค่าที่แท้จริงของฟังก์ชั่นต่อเนื่อง"

การบรรจบกันของชุดฟูริเย: ตัวอย่างเช่น

ปัญหาของการบรรจบกันเพิ่มขึ้นทุกครั้งที่คุณต้องการผลบวกของอนุกรมอนันต์ของตัวเลข พิจารณาตัวอย่างคลาสสิกสำหรับความเข้าใจของปรากฏการณ์นี้ คุณสามารถมาถึงผนังถ้าแต่ละขั้นตอนเป็นครึ่งหนึ่งก่อนหน้านี้? สมมติว่าคุณจะมาจากประตูสองเมตรขั้นตอนแรกที่ใกล้ชิดกับรอบครึ่งทางที่ต่อไป - เครื่องหมายของสามในสี่และหลังจากที่ห้าที่คุณจะเอาชนะเกือบร้อยละ 97 ของวิธีการ แต่ไม่ว่าวิธีการหลายขั้นตอนที่คุณได้ทำทั้งที่เป้าหมายที่ตั้งใจให้คุณเข้าถึงในความหมายทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด โดยใช้การคำนวณตัวเลขที่เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าในท้ายที่สุดอาจจะใกล้ชิดกับระยะทางที่กำหนดขนาดเล็กโดยพลการ นี้จะเทียบเท่ากับหลักฐานที่แสดงให้เห็นว่ามูลค่ารวมของครึ่งหนึ่งหนึ่งในสี่และอื่น ๆ . อีจะมีแนวโน้มที่จะมีความเป็นเอกภาพ

ปัญหาของการลู่: สองมาหรือเครื่องมือของลอร์ดเคลวิน

ซ้ำแล้วซ้ำอีกคำถามที่เกิดขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่สิบเก้าเมื่อชุดฟูริเยร์ได้พยายามที่จะใช้ในการคาดการณ์ความรุนแรงของความอิ่มและกระแส อุปกรณ์ในเวลานั้นลอร์ดเคลวินถูกคิดค้นเป็นแอนะล็อกคอมพิวเตอร์ซึ่งอนุญาตให้ชาวเรือกองทัพเรือและตรวจสอบการค้าทางทะเลเป็นปรากฏการณ์ธรรมชาติ ชุดนี้กลไกการกำหนดขั้นตอนและช่วงกว้างของคลื่นของความสูงของตารางของกระแสน้ำและสอดคล้องกับช่วงเวลาที่เวลาวัดระมัดระวังในท่าเรือตลอดทั้งปี แต่ละพารามิเตอร์เป็นไซน์สูงแสดงออกส่วนประกอบของน้ำขึ้นน้ำลงและเป็นหนึ่งในองค์ประกอบที่ปกติ ผลการตรวจวัดมีการป้อนข้อมูลไปยังอุปกรณ์คอมพิวเตอร์ลอร์ดเคลวินสังเคราะห์เส้นโค้งที่คาดการณ์ความสูงของน้ำเป็นฟังก์ชั่นของปีต่อไปนี้ เร็ว ๆ นี้เส้นโค้งเหล่านี้ถูกวาดขึ้นสำหรับการคุ้มกันอย่างแน่นหนาทั้งหมดของโลก

และถ้าการที่จะเสียการทำงานไม่ต่อเนื่อง?

ในเวลานั้นมันประจักษ์ชัดเจนว่าอุปกรณ์ที่คาดการณ์คลื่นยักษ์มีหลายองค์ประกอบของบัญชีที่สามารถคำนวณเป็นจำนวนมากของขั้นตอนและช่วงกว้างของคลื่นและเพื่อให้การทำนายที่แม่นยำมากขึ้น แต่มันกลับกลายเป็นว่ารูปแบบนี้จะไม่ได้สังเกตในกรณีที่มีการแสดงออกที่น้ำขึ้นน้ำลงที่จะสังเคราะห์มีกระโดดคมชัด, ที่อยู่, มีความต่อเนื่อง ในกรณีที่อุปกรณ์ในการป้อนข้อมูลจากตารางของจุดเวลาก็จะคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ไม่กี่ การกู้คืนฟังก์ชั่นเดิมเนื่องจากองค์ประกอบซายน์ (ตามที่มีสัมประสิทธิ์พบ) ความแตกต่างระหว่างต้นฉบับและการแสดงออกที่สร้างขึ้นใหม่สามารถวัดได้ที่จุดใด เมื่อคำนวณซ้ำและการเปรียบเทียบจะเห็นได้ว่ามูลค่าของข้อผิดพลาดที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่จะไม่ลดลง อย่างไรก็ตามพวกเขาได้รับการแปลเป็นภาษาท้องถิ่นในภูมิภาคที่สอดคล้องกับจุดประสงค์ของการแตกร้าวและจุดอื่น ๆ มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ ในปี 1899 ผลนี้ได้รับการยืนยันในทางทฤษฎีโจชัววิลลาร์ดกิบส์ของมหาวิทยาลัยเยล

การบรรจบกันของชุดฟูริเยและการพัฒนาคณิตศาสตร์เป็นทั้ง

การวิเคราะห์ฟูริเยร์ไม่ได้นำไปใช้กับการแสดงออกที่มีจำนวนอนันต์ของระเบิดในช่วงเวลาที่แน่นอน ในซีรีส์ฟูริเยร์โดยทั่วไปถ้าฟังก์ชั่นเดิมที่เป็นตัวแทนจากผลการตรวจวัดทางกายภาพที่เกิดขึ้นจริงเสมอมาบรรจบกัน คำถามของการบรรจบกันของกระบวนการนี้สำหรับการเรียนที่เฉพาะเจาะจงของฟังก์ชั่นได้นำไปสู่การเปิดสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์เช่นทฤษฎีของการทำงานทั่วไป มันมีความเกี่ยวข้องกับชื่อเช่นชวาร์ตซ์, J .. Mikusińskiและวัดเจ ภายใต้ทฤษฎีนี้เป็นที่ชัดเจนและแม่นยำทฤษฎีพื้นฐานสำหรับการแสดงออกดังกล่าวได้รับการจัดตั้งเป็นฟังก์ชั่นเดลต้าแรค (มันอธิบายภูมิภาคของพื้นที่เดียวกระจุกตัวอยู่ในพื้นที่ใกล้เคียงน้อยของจุด) และ "ขั้นตอน" เฮเวอร์ ผ่านชุดทำงานฟูริเยร์นี้กลายเป็นบังคับสำหรับการแก้สมการและปัญหาที่เกี่ยวข้องกับแนวความคิดที่ใช้งานง่าย: จุดประจุมวลจุดไดโพลแม่เหล็กและโหลดเข้มข้นบนคาน

วิธีฟูริเยร์

ชุดฟูริเยร์ตามหลักการของการรบกวนเริ่มต้นด้วยการสลายตัวของรูปแบบที่ซับซ้อนในที่เรียบง่าย ยกตัวอย่างเช่นการเปลี่ยนแปลงในการไหลของความร้อนเนื่องจากการเดินผ่านอุปสรรคต่าง ๆ ของความร้อนของวัสดุฉนวนรูปร่างผิดปกติหรือการเปลี่ยนแปลงพื้นผิว - การเกิดแผ่นดินไหวที่มีการเปลี่ยนแปลงในวงโคจรของเทห์ฟากฟ้า - อิทธิพลของดาวเคราะห์ โดยปกติแล้วสมการเหล่านี้อธิบายง่ายๆประถมศึกษาระบบคลาสสิกได้รับการแก้ไขในแต่ละความยาวคลื่นของแต่ละบุคคล ฟูริเยร์ได้แสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาที่ง่ายสามารถสรุปได้ว่าเป็นงานที่ซับซ้อนมากขึ้น ในภาษาของคณิตศาสตร์ชุดฟูริเยร์ - วิธีการสำหรับการส่งของจำนวนเงินเอาการแสดงออกของฮาร์โมนิที่ - โคไซน์และคลื่นไซน์ ดังนั้นการวิเคราะห์นี้เป็นที่รู้จักกันภายใต้ชื่อ "การวิเคราะห์สอดคล้องกัน"

ชุดฟูริเยร์ - วิธีที่เหมาะกับ "ยุคคอมพิวเตอร์"

ก่อนที่จะมีการสร้างวิธีการเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ฟูริเยร์เป็นอาวุธที่ดีที่สุดในคลังแสงของนักวิทยาศาสตร์ที่ทำงานร่วมกับธรรมชาติคลื่นของโลกของเรา ชุดฟูริเยร์ในรูปแบบที่ซับซ้อนช่วยให้คุณไม่เพียง แต่แก้ปัญหาง่ายๆที่มีความคล้อยตามตรงการประยุกต์ใช้กฎหมายของนิวตันของกลศาสตร์ แต่ยังสมพื้นฐาน ส่วนใหญ่ของการค้นพบทางวิทยาศาสตร์ของนิวตันของศตวรรษที่สิบเก้าก็เป็นไปได้เพียง แต่เนื่องจากวิธีฟูริเยร์

ชุดฟูริเยร์ในวันนี้

กับการพัฒนาของฟูเรียร์คอมพิวเตอร์ได้เพิ่มขึ้นสู่ระดับใหม่ เทคนิคนี้เป็นที่ยึดมั่นในเกือบทุกสาขาของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ตัวอย่างเช่นเสียงดิจิตอลและวิดีโอ การดำเนินการที่ได้รับการทำเพียงขอบคุณที่เป็นไปได้กับทฤษฎีที่พัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในช่วงต้นศตวรรษที่สิบเก้า ดังนั้นชุดฟูริเยร์ในรูปแบบที่ซับซ้อนได้รับอนุญาตให้ประสบความสำเร็จในการศึกษาของพื้นที่รอบนอก นอกจากนี้ยังมีผลกระทบต่อการศึกษาของฟิสิกส์ของวัสดุเซมิคอนดักเตอร์และพลาสม่าอะคูสติกเครื่องไมโครเวฟ, สมุทรศาสตร์เรดาร์ seismology ที่

ชุดตรีโกณมิติฟูริเยร์

ในทางคณิตศาสตร์ชุดฟูริเยร์เป็นวิธีการแสดงการทำงานที่ซับซ้อนโดยพลการเป็นผลรวมของความเรียบง่าย ในกรณีทั่วไปจำนวนของการแสดงออกอาจจะไม่มีที่สิ้นสุด ยิ่งจำนวนนับในการคำนวณที่ถูกต้องมากขึ้นผลสุดท้ายจะได้รับ การใช้งานที่พบมากที่สุดของโคไซน์ตรีโกณมิติง่ายหรือฟังก์ชั่นไซน์ ในกรณีนี้ชุดฟูริเยร์ที่เรียกว่าตรีโกณมิติและการตัดสินใจของการแสดงออกดังกล่าว - สลายตัวประสาน วิธีการนี้จะมีบทบาทสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ แรกของทุกชุดตรีโกณมิติให้หมายถึงภาพที่เช่นเดียวกับการศึกษาของฟังก์ชั่นก็เป็นหน่วยงานหลักของทฤษฎี นอกจากนี้ยังช่วยให้เราสามารถแก้จำนวนของปัญหาในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ สุดท้ายทฤษฎีนี้ได้มีส่วนร่วมในการพัฒนา ของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ มันก่อให้เกิดจำนวนสาขาที่สำคัญมากของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ (ทฤษฎีของปริพันธ์, ทฤษฎีของการทำงานเป็นระยะ) นอกจากนี้ยังเป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการพัฒนาต่อไปนี้ ทฤษฎี: ชุด ฟังก์ชั่นของตัวแปรจริง, การวิเคราะห์การทำงาน และวางรากฐานสำหรับการวิเคราะห์สอดคล้องกัน