ยุคลิดสมมุติที่ห้า: ถ้อยคำ

เป็นที่เชื่อกันว่ามีอยู่ 10 000 ปีที่ผ่านมาอารยธรรมมนุษย์คนแรก เมื่อเทียบกับอายุของโลกของเราซึ่งเป็นไปตามที่นักวิทยาศาสตร์คืออายุประมาณ 4,540,000 ปีที่ผ่านมานี้เป็นเพียงชั่วระยะเวลาสั้น สำหรับเรื่องนี้ "ช่วงเวลา" มนุษย์ได้ทำก้าวกระโดดครั้งใหญ่จากเครื่องมือหินดั้งเดิมยานอวกาศดาวเคราะห์ เขาจะไม่เป็นไปได้ถ้าเวลาผ่านไปบนดาวเคราะห์ดวงนี้จะได้รับการเกิดอัจฉริยะวิทยาศาสตร์เคลื่อนที่ไปข้างหน้า ในหมู่พวกเขาแน่นอนหมาย Euclid ผลงานของเขาได้กลายเป็นรากฐานและแรงผลักดันที่มีประสิทธิภาพสำหรับการพัฒนาของคณิตศาสตร์สมัยใหม่

บทความนี้เป็นเรื่องสมมุติที่ห้าของ Euclid และประวัติศาสตร์ของ

วิธีการทำรูปทรงเรขาคณิต

ตั้งแต่แปลงที่ดินเป็นเรื่องของการให้เช่าขนาดและพื้นที่ของการขายของพวกเขาและการส่งมอบจะต้องมีการวัดรวมถึงการคำนวณ นอกจากนี้การคำนวณดังกล่าวกลายเป็นสิ่งจำเป็นในการก่อสร้างของโครงสร้างขนาดใหญ่เช่นเดียวกับการวัดปริมาณของรายการที่แตกต่างกัน ทั้งหมดนี้ได้กลายเป็นสิ่งที่จำเป็น 3-4 พันปีที่ผ่านมาในอียิปต์และบาบิโลนสำรวจศิลปะ จะได้รับการสังเกตุและเป็นคอลเลกชันของหลายร้อยตัวอย่างของการแก้ปัญหาที่เฉพาะเจาะจงโดยไม่มีหลักฐานใด ๆ

ในฐานะที่เป็นวิทยาศาสตร์เป็นระบบของเรขาคณิตการพัฒนาในสมัยกรีกโบราณ เป็นช่วงต้นของศตวรรษที่สามมีขนาดใหญ่อุปทานของข้อเท็จจริงและวิธีหลักฐาน แต่ก็เกิดปัญหาพอที่กว้างขวางเพื่อสรุปวัสดุรูปทรงเรขาคณิตที่เก็บรวบรวม เธอพยายามที่จะแก้ Hippocrates Fedii และอื่น ๆ ที่นักปรัชญากรีกโบราณ แต่เหตุผลการตรวจสอบระบบทางวิทยาศาสตร์ที่มีเพียงประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช อี ด้วยการตีพิมพ์ของ "Principia ที่"

ใครคือ Euclid

กรีกโบราณให้โลกอีกหลายแห่งที่นักปรัชญาและนักวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด หนึ่งในนั้นคือ Euclid ซึ่งกลายเป็นผู้ก่อตั้งโรงเรียนกระทิงของคณิตศาสตร์ เกี่ยวกับนักวิทยาศาสตร์จริงไม่มีอะไรที่เป็นที่รู้จักกัน บางแหล่งข่าวระบุว่าพ่อหนุ่มอนาคตของเรขาคณิตที่ทันสมัยการศึกษาในโรงเรียนที่มีชื่อเสียงของเพลโตในกรุงเอเธนส์และแล้วก็กลับไปซานเดรียที่เขายังคงเรียนคณิตศาสตร์และเลนส์เช่นเดียวกับการแต่งเพลง ในเมืองบ้านเกิดของเขาที่เขาก่อตั้งโรงเรียนที่ร่วมกับนักเรียนและสร้างงานที่มีชื่อเสียงของเขาซึ่งมานานกว่าสองพันปีเป็นพื้นฐานสำหรับตำราใด ๆ ในเรขาคณิตเครื่องบินและเรขาคณิตที่เป็นของแข็ง

"องค์ประกอบ" ของ Euclid

หลักและเป็นครั้งแรกส่วนใหญ่ระบบการทำงานในเรขาคณิตประกอบด้วย 13 เล่ม หนังสือครั้งแรกที่สี่และหกจัดการกับรูปทรงเรขาคณิตเครื่องบินและ 11, 12 และ 13 - เรขาคณิตแข็ง ในฐานะที่เป็นเล่มอื่น ๆ ที่พวกเขาจะทุ่มเทให้กับการคำนวณที่มาจากมุมมองของสมมุติฐานทางเรขาคณิต

บทบาทของการทำงานหลักของ Euclid ในการพัฒนาตามมาของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ไม่สามารถประเมิน รายการต้นกกที่ยังหลงเหลืออยู่หลายเดิมเช่นเดียวกับต้นฉบับไบเซนไทน์

ในยุคกลาง "องค์ประกอบ" ของ Euclid การศึกษาเป็นหลักโดยชาวอาหรับที่พิจารณาพวกเขาเป็นหนึ่งในผลงานที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของความคิดของมนุษย์และนักวิทยาศาสตร์ของเมืองดามัสกัส มากต่อมาผลงานเหล่านี้สนใจยุโรป กับการถือกำเนิดของวิทยาศาสตร์การพิมพ์รวมทั้งรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดไม่เป็นที่รู้จักกันเท่านั้นที่จะเลือกตั้ง หลังจากฉบับพิมพ์ครั้งแรกใน 1533 "องค์ประกอบ" พร้อมที่จะให้ทุกคนที่ต้องการที่จะเข้าใจโลกและมีมากขึ้นและมากขึ้นทุกปี ความต้องการได้สร้างอุปทานดังนั้นจึงเป็นที่เชื่อกันว่างานนี้เป็นครั้งที่สองที่อ่านมากที่สุดอย่างกว้างขวางในหมู่อนุเสาวรีย์ของโบราณหลังจากที่พระคัมภีร์

คุณสมบัติบางอย่าง

ว่า "องค์ประกอบ" อธิบายถึงคุณสมบัติของตัวชี้วัดมิติที่สามที่ว่างเปล่าที่ไร้ขีด จำกัด และ isotropic พื้นที่ซึ่งมักจะเรียกว่ายุคลิด มันจะถือเป็นเวทีที่มีปรากฏการณ์ของฟิสิกส์คลาสสิกของกาลิเลโอและนิวตัน

วัตถุทางเรขาคณิตประถมศึกษาตามยุคลิดเป็นจุด ที่สองแนวคิดที่สำคัญ - อินฟินิตี้ของพื้นที่ซึ่งเป็นลักษณะโดยสามสมมุติฐานแรก ที่สี่ความกังวลความเท่าเทียมกันของมุมที่เหมาะสม ในเรื่องเกี่ยวกับหลักฐานที่ห้าของ Euclid ด้วยแล้วจะกำหนดคุณสมบัติและรูปทรงเรขาคณิตของพื้นที่ยุคลิด

ตามที่นักวิทยาศาสตร์พ่อเรขาคณิตคลาสสิกที่สร้างตำราที่สมบูรณ์แบบการศึกษาที่ไม่รวมความเข้าใจผิดของวัสดุใด ๆ เพราะวิธีการนำเสนอของเขา โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริมาณของ "องค์ประกอบ" แต่ละคนเริ่มต้นด้วยความหมายของแนวคิดที่พบเป็นครั้งแรก โดยเฉพาะอย่างยิ่งจากหน้าแรกของหนังสือเล่ม 1 ผู้อ่านรู้ว่าจุดเส้นตรงและอื่น ๆ . ทั้งหมดจะมี 23 คำจำกัดความที่จำเป็นสำหรับความเข้าใจของบทบัญญัติหลักของวัสดุที่นำเสนอในการทำงานพื้นฐาน

4 ความจริงเป็นครั้งแรกและยืนยัน Euclid

หลังจากที่ผู้เขียนของ "องค์ประกอบ" มีผลที่ได้รับการยอมรับโดยไม่ต้องพิสูจน์ เหล่านี้เขาแบ่งออกเป็นหลักการและสมมุติฐาน กลุ่มแรกประกอบด้วย 11 งบว่าผู้ชายคนนั้นเป็นที่รู้จักกันอย่างสังหรณ์ใจ ตัวอย่างเช่นความจริงที่ 8 ทั้งที่มีค่ามากกว่าส่วนหนึ่งและเป็นไปตามที่ทั้งสองปริมาณแรกนอกเหนือเท่ากับสามเท่ากับแต่ละอื่น ๆ

นอกจากนี้ 5 ทำให้เกิดสมมุติฐาน Euclid สี่ครั้งแรกอ่านเป็นดังนี้:

• จากจุดอื่น ๆ ใด ๆ คุณสามารถวาดเส้นตรง;
• จากศูนย์กลางของทุกรัศมีใด ๆ ที่เป็นไปได้ที่จะอธิบายวงกลม;
• บรรทัด จำกัด สามารถขยายอย่างต่อเนื่องเป็นเส้นตรง;
• ทุกมุมขวามีค่าเท่ากัน

ยุคลิดสมมุติที่ห้า

มานานกว่าสองพันปีคำสั่งนี้ซ้ำ ๆ กลายเป็นวัตถุของความสนใจของนักคณิตศาสตร์ แต่ก่อนที่เราจะคุ้นเคยกับเนื้อหาของสัจพจน์ที่ห้าของ Euclid ดังนั้นในการกำหนดทันสมัยมันฟังดูราวกับว่าอยู่บนเครื่องบินที่จุดตัดของสองตรงด้านเดียวที่สามผลรวมของมุมภายในน้อยกว่า 180 องศาแล้วเส้นเหล่านี้ขณะที่ยังคงไม่ช้าก็เร็วตอบสนองในด้านที่เกี่ยวกับการที่ปริมาณ (จำนวน) น้อยกว่า 180 องศา

สมมุติห้าของยุคลิดซึ่งเป็นถ้อยคำในแหล่งที่มาที่แตกต่างกันจะแตกต่างจากเริ่มแรกที่เกิดจากการเล่นกีฬาและต้องการที่จะแปลเป็นหมวดหมู่ของทฤษฎีบทโดยการสร้างหลักฐานเสียง โดยวิธีการที่มันมักจะถูกแทนที่ด้วยการแสดงออกอื่นในความเป็นจริงคิดค้นสาปแช่งและยังเป็นที่รู้จักความจริงของการเพลย์แฟร์ มันอ่านดังนี้บนเครื่องบินผ่านจุดที่ไม่ได้เป็นเส้นที่กำหนดอาจจะมีเพียงหนึ่งเดียวและแบบขนานเส้นตรงนี้

ภาษา

ดังกล่าวแล้วนักวิทยาศาสตร์หลายคนได้พยายามที่แตกต่างกันแสดงความคิดของสมมุติที่ 5 ของยุคลิด สูตรหลายคนค่อนข้างชัดเจน ตัวอย่างเช่น:

• เส้นตัดบรรจบ;
• มีอย่างน้อยหนึ่งรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า, ที่อยู่, 4 ตารางกับมุมขวาสี่;
• แต่ละรูปสามารถเพิ่มขึ้นตามสัดส่วน;
• มีเป็นรูปสามเหลี่ยมต้องมีพื้นที่ขนาดใหญ่โดยพลการ

ข้อบกพร่อง

รูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นผลงานทางคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของสมัยโบราณและจนกระทั่งศตวรรษที่ 19 ก็ขึ้นครองราชย์แทนไม่มีใครทักท้วงในวิชาคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตามเรื่องนี้บางส่วนของข้อบกพร่องของตนได้รับการบันทึกไว้ได้โดยโคตรของผู้เขียนและนักวิชาการกรีกโบราณที่อาศัยอยู่ค่อนข้างช้า โดยเฉพาะอย่างยิ่งได้มีการเพิ่มความจริง Archimedes ใหม่ตั้งชื่อตามเขา มันบอกว่ามีจำนวนเต็ม n ซึ่งเป็น n · [AB]> [CD] สำหรับทุกส่วน AB และ CD

นอกจากนี้นักวิทยาศาสตร์ได้พยายามที่จะลดระบบสัจพจน์ยุคลิดและสมมุติฐาน การทำเช่นนี้พวกเขาเอาบางส่วนของพวกเขาออกจากส่วนที่เหลือ

ดังนั้นจึงมีการจัดการเพื่อ "กำจัด" ของสมมุติที่ 4 ของความเท่าเทียมกันของมุมที่เหมาะสม สำหรับเขาหลักฐานอย่างเข้มงวดก็พบเขาจึงย้ายไปหมวดหมู่ของทฤษฎีบท

ประวัติความเป็นมา 5 สมมุติในสมัยโบราณและต้นยุคกลาง

สูตรคลาสสิกของงบเรขาคณิตแบบยุคลิดนี้ดูเหมือนว่ามากน้อยที่เห็นได้ชัดกว่าที่อื่น ๆ สี่ มันคือความจริงผีสิงนี้นักคณิตศาสตร์

บล็อกสะดุดสำหรับสมมุติยุคลิดห้าคือความหมายของความเท่าเทียมของทั้งสองสาย A และ B ที่ระบุว่าผลรวมของมุมทั้งสองข้างเดียวซึ่งจะเกิดขึ้นจากการตัดกันของและ b ที่สามบรรทัดคตรงเท่ากับ 180 องศา

ความพยายามครั้งแรกที่จะพิสูจน์ว่ามันเป็นทฤษฎีบทที่ถูกสร้างขึ้นโดยเรขาคณิตกรีกโบราณ Posidonius เขาเสนอที่จะต้องพิจารณาคู่ขนานตรงกับระนาบของชุดของทุกจุดที่มีระยะห่างเท่ากันจากเดิมที่ อย่างไรก็ตามแม้นี้ไม่อนุญาตให้ Posidonius หาหลักฐานสมมุติที่ 5

หรือจะไม่มีประโยชน์และความพยายามของนักคณิตศาสตร์อื่น ๆ รวมทั้งในยุคกลางเช่นอาหรับอิบัน Korra และ Khayyam สิ่งเดียวที่ได้รับความสำเร็จ - การเกิดขึ้นของสมมุติฐานใหม่ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ตามสมมติฐานต่างๆ

ในศตวรรษที่ 18-19-TH

เรขาคณิตคลาสสิกยังคงได้รับความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์และในศตวรรษที่ 18 โดยเฉพาะอย่างยิ่งพอใกล้กับสมมุติขนานหลักฐานจะมาฝรั่งเศสคณิตศาสตร์ A. Legendre เขาเขียนตำราที่โดดเด่น "องค์ประกอบของรูปทรงเรขาคณิต" ซึ่งเป็นเรื่องเกี่ยวกับ 150 ปีเป็นหลักของการสอนคณิตศาสตร์ในโรงเรียนจักรวรรดิรัสเซีย ในนั้นนักวิทยาศาสตร์ให้สามตัวเลือกพิสูจน์ความจริงขนานยุคลิด แต่พวกเขาทั้งหมดจะกลายเป็นที่ไม่ถูกต้อง

โดยในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 ความคิดของการสร้างที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเรขาคณิต คำอธิบายแรกของระบบที่เป็นอิสระจากสมมุติห้านำทหารวิศวกร J โบเลอย แต่เขาก็กลัวของการค้นพบของเขาและไม่ได้ติดตามความคิดที่เชื่อว่ามันไม่ถูกต้อง ที่ประสบความสำเร็จยังไม่ได้รับสามารถที่จะประสบความสำเร็จและนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่ดีเกาส์

ความก้าวหน้า

เป็นเวลากว่า 2000 ปีของสัจพจน์ที่ห้าของ Euclid หลักฐานซึ่งพยายามที่จะหาหลายร้อยของนักวิทยาศาสตร์ยังคงอยู่จำนวนหนึ่งปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์ การพัฒนาทำให้นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย NI Lobachevsky กับเขาครั้งแรกของโลกที่มีการจัดการที่จะอธิบายคุณสมบัติของพื้นที่จริงที่พิสูจน์ให้เห็นว่ายุคลิดเรขาคณิต "ทำงาน" เท่านั้นในกรณีพิเศษของระบบของเขา

N. I. Lobachevsky แรกลงไปเส้นทางเดียวกันกับที่ของเพื่อนร่วมงานของเขา พยายามที่จะพิสูจน์สมมุติที่ 5 เขาไม่ได้ประสบความสำเร็จ จากนั้นนักวิทยาศาสตร์ปฏิเสธการเป็นตัวแทนยุคลิดตามที่ มุมของรูปสามเหลี่ยมผลรวม เท่ากับ 180 องศา ถัดไปเขาพยายามที่จะพิสูจน์เรื่องนี้ยืนยันจากความขัดแย้งและมีการใช้ถ้อยคำใหม่สำหรับสมมุติที่ห้า ตอนนี้เขายอมรับการดำรงอยู่ของหลายบรรทัดขนานไปนี้และผ่านจุดนอนอยู่นอกสายนี้

เรขาคณิตใหม่

มันทำให้รู้สึกไม่เพื่อหารือเกี่ยวกับที่ได้ทำมากขึ้นสำหรับคณิตศาสตร์ บทบาทของ Euclid และ Lobachevsky อิทธิพลเปรียบในการสร้างและพัฒนาของนิวตันและไอน์สไตของฟิสิกส์ ในเวลาเดียวกันใหม่รูปทรงเรขาคณิตที่แน่นอนเป็นไปได้ที่จะถือว่าความคิดของพื้นที่ที่จะหมดออกไปจากวิธีคลาสสิก "สามารถเข้าใจเพียง แต่สิ่งที่สามารถวัดได้." แต่วิธีการดังกล่าวได้รับการฝึกฝนในด้านวิทยาศาสตร์เป็นพัน ๆ ปี

แต่น่าเสียดายที่ความคิดของ Lobachevskii เรขาคณิตที่ไม่ได้รับการยอมรับและเข้าใจได้โดยโคตรของเขา โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักเรียนของเขาจะไม่ได้อย่างต่อเนื่องในการทำงานของนักวิทยาศาสตร์และการพัฒนาไม่ใช่เรขาคณิตแบบยุคลิดถูกเลื่อนออกไปเป็นเวลาหลายทศวรรษที่ผ่านมา

คุณสมบัติบางอย่างของทฤษฎี Lobachevskii

เพื่อให้เข้าใจถึงรูปทรงเรขาคณิตใหม่ก็เป็นสิ่งจำเป็นที่จะต้องพิจารณาอนันต์จักรวาล อันที่จริงมันเป็นเรื่องยากที่จะจินตนาการว่าความกว้างใหญ่ของจักรวาลคือผลรวมของพื้นที่เชิงเส้น

เรขาคณิต Lobachevsky ใช้เพื่ออธิบายช่องว่างโค้งที่ถูกสร้างขึ้นโดยสนามแรงโน้มถ่วงของกาแลคซี เธอได้รับอนุญาตให้ออกจากวิธีการของความสนใจของตัวเลขทั้งหมดที่ "เกี่ยวกับสิทธิ" กระบอก, วงกลม, ปิรามิดหรือการรวมกันของรูปทรงใด ๆ เหล่านี้ สำหรับตัวอย่างในความเป็นจริงโลกของเรา - ไม่มีลูกและจีออยด์คือตัวเลขที่จะได้รับโดย contouring เส้นด้านนอกของเปลือกโลก (เปลือกแข็ง) ของโลกแล้ว ...

ในชีวิตจริงยังมี analogues ของพื้นที่โค้งของจักรวาลซึ่งจะช่วยให้การแนะนำความเป็นไปได้ของการดำรงอยู่ของเส้นหลายขนานของการส่งผ่านผ่านจุดเดียวกัน โดยเฉพาะนี้ผิวโค้งของสามประเภทที่ได้รับการจัดสรรเรขาคณิตอิตาลี Beltrami และตั้งชื่ออี pseudosphere

การพัฒนาต่อไปของทฤษฎีของ Lobachevsky

ที่โดดเด่นของรัสเซียไม่ได้เป็นคนเดียวที่ไม่ควรสมบูรณ์ของเรขาคณิตแบบยุคลิด โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักคณิตศาสตร์ Riemann ในปี 1854 หยิบยกความคิดของความเป็นไปได้ของการดำรงอยู่ของช่องว่างของศูนย์โค้งบวกและลบที่ นั่นหมายความว่าคุณสามารถสร้างจำนวนอนันต์ของรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่คลาสสิกที่แตกต่างกัน

กับตำแหน่ง Riemann ของที่ได้ศึกษาส่วนใหญ่เป็นพื้นที่ที่มีความโค้งบวกสมมุติที่ 5 ของ Euclid เสียงค่อนข้างไม่คาดคิด ตามความคิดของเขาผ่านจุดนอกเส้นที่กำหนดไม่สามารถถือแนวขนานใด ๆ นี้

แตกต่างกันมากเป็นกรณีที่มีช่องว่างที่ศูนย์โค้งเชิงลบและเชิงบวกของทฤษฎีของ Klein โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีแรกที่พวกเขาจะอธิบายโดยรูปทรงเรขาคณิตเป็นรูปโค้งเป็นกรณีพิเศษซึ่งเป็นคลาสสิกที่สอง - เชื่อฟังความคิด Lobachevskian และคนที่สาม - สอดคล้องกับที่อธิบายไว้โดย Riemann

ตามประกาศของอัลเบอร์ต้า Eynshteyna ทฤษฎีสัมพัทธที่ส่งของช่องว่างดังกล่าวเสริมว่าข้อมูลที่คำนึงถึงการดำรงอยู่ของสี่การพึ่งพาซึ่งกันและกันและการเปลี่ยนแปลงการวัด - น้ำหนักพลังความเร็วและเวลา

ในทางปฏิบัติ

ถ้าคุณไปที่การรับรู้ของมนุษย์ในพื้นที่ภายในวงโคจรของโลกสำหรับยักษ์สามเหลี่ยมที่เป็นไปได้ที่ใหญ่ที่สุดของการเบี่ยงเบนเป็นไปได้ของผลรวมของมุมภายในของ 180 องศาทำให้คลาสสิกเพียง 4/1000000 ของวินาที ค่านี้เป็นเกินความสามารถของมนุษย์ปัจจุบันเพื่อให้ "โลก" ความต้องการเป็นรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด

มันยังคงต้องรอจนกว่าเงื่อนไขจะถูกสร้างขึ้นที่ช่วยให้เพื่อให้ได้ข้อมูลการทดลองเพื่อยืนยันหรือหักล้างทฤษฎีของ N โลบาเชฟสกี้และ Riemann ทั่วจักรวาล

ตอนนี้คุณรู้ว่าประกาศสมมุติที่ห้าของ Euclid และประวัติศาสตร์ซึ่งเป็นคำแนะนำที่ดีและช่วยให้เราสามารถติดตามวิวัฒนาการของจิตใจมนุษย์ที่ผ่านมา 2,300 ปีที่ผ่านมา